• cos ^2 (x)= 1/2 +sin^2(x)
On utilise l'identité cos^2(x) +sin^2(x)=1
L'equation devient:
1-sin^2(x)= 1/2 +sin^2(x)
<=> 2 sin^2(x)= 1/2
<=> sin^2(x) = 1/4
<=> sin(x) = 1/2 ou sin(x) = -1/2
sin(x)= 1/2 => x= π/6 +2kπ ou x= 5π/6+2kπ
avec k dans Z
sin(x) = -1/2 => x=7π/6 +2kπ ou x=11π/6+2kπ
avec k dans Z
• cos ^2 (x) -2 cos(x)+1=0 (identité remarquable)
<=> (cos (x)-1)^2=0
<=> cos(x)-1=0
<=> cos(x)=1
<=> x= 2kπ avec k dans Z
• cos (2x) =cos(x)
Utilisant l'identité cos(2x)= 2cos ^2 (x) -1
L'équation devient:
2cos ^2 (x) -1=cos(x)
<=> 2cos ^2 (x) -cos(x) -1=0
(On pose X=cos(x), il s'agit de résoudre l'équation 2X^2-X-1=0)
on trouve deux solutions
cos(x)=1 et cos(x)= -1/2
cos(x)=1 => x= 2kπ avec k dans Z
cos(x)=-1/2 => x=2π/3 + 2kπ ou
x=4π/3 + 2kπ avec k dans Z