Bonjour :)
[tex]\text{On consid\`ere la suite }(U_n)\text{ d\'efinie }\forall n\in\mathbb N\text{ par}:\\\begin{cases}U_{n+1}=3-\frac{10}{U_n+4}\\U_0=5\end{cases}[/tex]
[tex]\textbf{PARTIE A}\\\\1.\ U_1=3-\frac{10}{U_0+4}=\frac{17}{9}\\\\U_2=3-\frac{10}{U_1+4}=\frac{69}{53}[/tex]
[tex]2.\\ \text{Initialisation:}\\\text{Au\ rang\ n=0,\ on\ a : }U_0=5\\5>1\ Donc\ P(n)\ est\ vraie\ au\ rang\ 0.[/tex]
[tex]\text{H\'er\'edit\'e : Supposons qu'il existe un entier k tel que }U_k\ge1\\\text{Montrons alors que }U_{k+1}\ge1\text{ est vraie aussi.}\\U_k\ge 1\\\\U_k+4\ge 5\\\\\frac{1}{U_k+4}\le \frac{1}{5}\\\\-\frac{10}{U_k+4}\ge -\frac{10}{5}\\\\3-\frac{10}{U_k+4}\ge 1\Leftrightarrow \boxed{U_{k+1}\ge 1}[/tex]
[tex]\text{CONCLUSION : P(n) est vraie au rang initial }n=0\text{ et on}\\\text{su montr\'e son h\'er\'edit\'e. Donc, d'apr\`es le principe de r\'ecurrence, on a :}\\\forall n\in\mathbb N,\ \ U_n\ge 1[/tex]
[tex]3.\ U_{n+1}-U_n=(3-\frac{10}{U_n+4})-U_n\\\\\Leftrightarrow U_{n+1}-U_n=\frac{3(U_n+4)-10-U_n(U_n+4)}{U_n+4}\\\\\Leftrightarrow U_{n+1}-U_n=\frac{-(U_n)^{2}-U_n+2}{U_n+4}\\\\\text{Il faut savoir que : }(1-U_n)(U_n+2)=U_n+2-(U_n)^{2}+2U_n\\=-(U_n)^{2}-U_n+2\\\\\text{Donc : }\forall n\in\mathbb N,\ \ U_{n+1}-U_n=\frac{(1-U_n)(U_n+2)}{U_n+4}[/tex]
[tex]4.\ \text{En utilisant la relation suivante : }U_{n+1}-U_n=\frac{(1-U_n)(U_n+2)}{U_n+4}\\\\\text{On sait que }U_n\ge 1,\ \forall n\in\mathbb N\\\\\text{Donc :}\\1-U_n\le0\\U_n+2\ge0\\U_n+4\ge0\\\\\text{On peut donc dire que : }U_{n+1}-U_n\le0\\\\\text{La suite }(U_n)\text{ est donc d\'ecroissante.}[/tex]
[tex]5.\ \text{La suite }(U_n)\text{ est minor\'ee par 1 et d\'ecroissante. Ce}\\\text{qui permet d'affirmer que la suite est convergente.}[/tex]
[tex]\textbf{PARTIE B}\\1.(a)\ V_n=\frac{U_n-1}{U_n+2}\\\\\frac{V{n+1}}{V_n}=\frac{\frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}+2}}{\frac{U_n-1}{U_n+2}}=\frac{U_{n+1}-1}{U_{n+1}+2}\times\frac{U_n+2}{U_n-1}\\\\\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{3U_n+12-10-U_n-4}{3U_n+12-10+2U_n+8}\times\frac{U_n+2}{U_n-1}\\\\\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{2U_n-2}{5U_n+10}\times\frac{U_n+2}{U_n-1}\\\\\frac{V{n+1}}{V_n}=\frac{2(U_n-1)}{5(U_n+2)}\times\frac{U_n+2}{U_n-1}\\\\\boxed{\frac{V_{n+1}}{V_n}=\frac{2}{5}}[/tex]
[tex]V_0=\frac{U_0-1}{U_0+2}=\frac{5-1}{5+2}=\frac{4}{7}\\\\\text{La suite }(V_n)\text{ est une suite g\'eom\'etrique de raison }q=\frac{2}{5}\text{ et de}\\\text{premier terme }V_0=\frac{4}{7}.[/tex]
[tex](b.)\ V_n=V_0\times q^{n}=\frac{4}{7}\times (\frac{2}{5})^{n}\\\\ \lim_{n \to \infty} (\frac{2}{5})^{n}=0\ c.\`a.d\ \lim_{n \to \infty} V_n=0\\V_0=\frac{4}{7}\\\\Donc,\ V_n\ne 1[/tex]
[tex]2.\ V_n=\frac{U_n-1}{U_n+2}\\\\V_n(U_n+2)=U_n-1\\\\V_nU_n+2V_n=U_n-1\\\\V_nU_n-U_n=-2V_n-1\\\\U_n(V_n-1)=-2V_n-1\\\\U_n=\frac{-2V_n-1}{V_n-1}=\frac{-(-2V_n-1)}{-(V_n-1)}\\\\\boxed{U_n=\frac{2V_n+1}{1-V_n}}[/tex]
[tex]3.\ \lim_{n \to \infty} V_n=0\ donc\ \lim_{n \to \infty} U_n=1[/tex]
[tex]\textbf{PARTIE C}\\1.\ \boxed{n=6}\\\\2.\ \text{Le programme consiste \`a calculer les indices successifs de la suite }(U_n)\\\text{tant que }U_n\text{ est sup\'erieur ou \'egal \`a 1,01.}\\\text{On sait que la suite converge vers 1.}\\\text{La variable n retourne l'indice de la suite qui, \`a partir de cet indice}\\\text{la suite }(U_n)\text{ se rapproche de plus en plus de sa limite qui est 1.}[/tex]
Pense à revenir vers moi si besoin,
Bonne continuation :))
