Réponse :
{U0 = 1
{Un+1 = - 1/2)Un + 3
1) calculer U1, U2 et U3
U1 = - 1/2)U0 + 3 = - 1/2 + 3 = 5/2
U2 = - 1/2)U1 + 3 = - 1/2)*5/2 + 3 = - 5/4 + 3 = 7/4
U3 = - 1/2)U2 + 3 = - 1/2)*7/4 + 3 = - 7/8 + 3 = 17/8
U1 - U0 = 5/2 - 1 = 3/2
U2 - U1 = 7/4 - 5/2 = - 3/4
U1 - U0 ≠ U2 - U1 ⇒ (Un) n'est pas une suite arithmétique
U1/U0 = 5/2
U2/U1 = 7/4/5/2 = 7/10
U1/U0 ≠ U2/U1 donc (Un) n'est pas une suite géométrique
2) on pose Vn = Un - 2. Démontrer que la suite (Vn) est géométrique de raison - 1/2
Vn+1 = Un+1 - 2
= - 1/2)Un + 3 - 2
= - 1/2)Un + 1
= - 1/2(Un - 2)
Vn+1 = - 1/2)Vn CQFD
donc (Vn) est une suite géométrique de raison - 1/2
3) en déduire l'expression de Vn en fonction de n puis celle de Un en fonction de n
Vn = V0 x qⁿ = - 1 x (- 1/2)ⁿ
Vn = Un - 2 ⇔ Un = Vn + 2 ⇔ Un = - 1 x (- 1/2)ⁿ + 2
Explications étape par étape :