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Bonjour

Pour tout nombre réel X
, on pose : f (x)=|5 – x| +|2x+3|
1) Ecrire |5 - x| sans utiliser de valeur absolue. (On distinguera deux cas).
2) Même question pour |2x+3|
3) Déduire des deux questions précédentes comment écrire f (x) sans utiliser de valeur absolue.
4) Résoudre dans l'équation f(x)=14

merci

Sagot :

jpmorin3

bonjour

 rappel :      |a| = a   si     a ≥ 0

                   |a| = - a  si     a ≤ 0

1)

|5 - x| =  5 - x     si    5 - x ≥ 0     soit  x ≤ 5

|5 - x| = -(5 - x)

         = -5 + x    si     5 - x ≤ 0     soit  x ≥ 5

2)

|2x + 3| = 2x + 3  si 2x + 3 ≥ 0     soit  x ≥ -3/2

|2x + 3| = -(2x + 3)

            = -2x - 3  si   2x + 3 ≤ 0   soit x ≤ -3/2

3)

on met ces résultats dans un tableau

x            -∞                           -3/2                        5                           +∞

|5 - x|                5 - x                            5 - x         0       - 5 + x          

|2x+3|             -2x - 3              0         2x + 3                 2x + 3

f(x)                 -3x + 2            13/2      x + 8         13         3x - 2

dans chaque colonne on additionne

5 - x - 2x - 3 = -3x + 2     ;       f(-3/2) = -3(-3/2) + 2 = 9/2 + 2 = 13/2

5 - x + 2x + 3 = x + 8       ;       f(5) = 2*5 + 3 = 13

x - 5 + 2x + 3 = 3x - 2      

réponse      f(x) = -3x + 2        sur   ]-∞ ; -3/2]

                   f(x) = x + 8           sur    [-3/2 ; 5]

                   f(x) = 3x - 2         sur     [5 ; +∞[

4)

f(x) = 14

  •  -3x + 2 = 14

      -3x = 12

       x = -4       ;     -4 < -3/2   ; cette solution convient

  • x + 8 = 14

    x = 6              ;  6 ∉  [-3/2 ; 5]  ; cette solution ne convient pas

• 3x - 2 = 14

 3x = 16

  x = 16/3   ;     16/3 > 5   cette solution convient

S = {-4 ; 16/3}

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