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Bonjour j’aurais vraiment besoin d’aide pour ce dm de maths s’il vous plaît
Merci beaucoup


Bonjour Jaurais Vraiment Besoin Daide Pour Ce Dm De Maths Sil Vous Plaît Merci Beaucoup class=

Sagot :

Bonjour :)

[tex]\text{ABCD carr\'e de c\^ot\'e 2. On note I milieu de AB et K le projet\'e}\\\text{orthogonal de A sur DI};\\\\\text{Il existe deux d\'efinitions\ du\ produit\ scalaire :}\\\\1)\ \vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||\times||\vec{v}||\times\cos(\vec{u};\vec{v})\\\\2)\ \vec{u}.\vec{v}=\frac{1}{2}(||\vec{u}||^{2}+||\vec{v}||^{2}-||\vec{u}-\vec{v}||^{2})[/tex]

[tex]\text{On se place dans le rep\`ere }(A,\vec{i},\vec{j}).\\\text{Ce qui permet de d\'eduire\ les\ coordonn\'ees de chaque point :}\\A(0,0),B(0,2),C(2,2),D(2,0)\ et\ I(0,1)[/tex]

[tex]\overrightarrow{DA}=\left( \begin{array}{c}-2 \\0 \\\end{array} \right)\ et\ \overrightarrow{DI}=\left( \begin{array}{c}-2 \\1 \\\end{array} \right)[/tex]

[tex]||\overrightarrow{DA}||=2\\||\overrightarrow{DI}||=\sqrt{(-2)^{2}+1^{2}}=\sqrt{5}[/tex]

[tex]\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DI}=\frac{1}{2}(||\overrightarrow{DA}||^{2}+||\overrightarrow{DI}||^{2}-||\overrightarrow{DA}-\overrightarrow{DI}||^{2})\\=\frac{1}{2}(2^{2}+(\sqrt{5})^{2}-1^{2})\\=4[/tex]

[tex]\text{Utilisons l'autre d\'efinition du produit scalaire qui fait intervenir}\\\text{le cosinus de l'angle orient\'e \'etudi\'e :}\\\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DI}=||\overrightarrow{DA}||\times||\overrightarrow{DI}||\times\cos(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DI})[/tex]

[tex]\cos(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DI})=\frac{\overrightarrow{DA}.\overrightarrow{DI}}{||\overrightarrow{DA}||\times||\overrightarrow{DI}||}=\frac{4}{2\times\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}[/tex]

[tex]\text{On sait que AKD est rectangle en K. D'apr\`es les relations}\\\text{trigonom\'etriques, on a :}\\\cos(\widehat{KDA})=\cos(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DI})=\frac{DK}{DA}\\\\\text{La valeur exacte de [DK] est donn\'ee par :}\\DK=AD\times\cos(\overrightarrow{DA};\overrightarrow{DI})=\frac{4}{\sqrt{5}}[/tex]

N'hésite pas à me poser des questions si besoin! ;)

Bonne continuation à toi ! :D

View image Micka44
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