Bonjour,
ABCD est un carré de côté 10cm,M est un point variable du segment [AB] tel que AMPN est un carré de côté x.
Le but du problème est de déterminer s'il est possible de trouver x pour que l'aire grisée soit égale à 36 cm².
1. À quel intervalle doit appartenir x?
Étant donné qu'il est un point variable du segment [AB] est que ce segment mesure 10cm, x doit appartenir à l'intervalle [0 ; 10].
2. On note f(x) l'aire en cm² de la partie grise. Démontrer que pour tout x de l'intervalle [0 ; 10] : f(x) = -x² + 5x + 50.
Pour connaître l'aire de la partie grisée, tu effectues le calcul suivant:
A(ABCD) = A(grisée) + A(blanche)
>> A(grisée) = A(ABCD) - A(blanche)
À partir des infos dont on dispose, calculons l'Aire totale et l'Aire blanche:
A(ABCD) = 10* 10= 100
A(blanche) = A(AMPN) + A(BCP)
A(blanche) = x*x + [10 * (10 - x)]/2
A(blanche) = x² + (100 - 10x)/2
A(blanche) = x² + 50 - 5x
A(blanche) = x² - 5x + 50
Comme je te l'ai dit juste avant, pour trouver l'Aire grisée, on soustrait l'Aire blanche à l'Aire totale
A(grisée) = A(ABCD) - A(blanche)
f(x) = A(ABCD) - A(blanche)
f(x) = 100 - (x² - 5x + 50)
f(x) = 100 - x² + 5x - 50
f(x) = -x² + 5x + 100 - 50
f(x) = -x² + 5x + 50
✅ Et là, la démonstration est terminée.
3. Expliquer pourquoi résoudre le problème posé revient à résoudre l'équation -x² + 5x + 14 = 0 avec x ∈ [0 ; 10]
En fait, tu cherches la chose suivante:
A(grisée) = 36
f(x) = 36
-x² + 5x + 50 = 36
-x² + 5x + 50 - 36 = 36 - 36
-x² + 5x + 14 = 0
✅
4. Développer le produit (x + 2)(-x + 7). Que constate-t-on?
(x + 2)(-x + 7)
= x*(-x) + x*7 + 2*(-x) + 2*7
= -x² + 7x - 2x + 14
= -x² + 5x + 14
On constate que le produit donné correspond à l'aire grisée. (Puisqu'une fois développée, l'expression de ce produit est identique à ce qu'on a calculé précédemment).
✅
5. En déduire les solutions de l'équation : -x² + 5x + 14 = 0 avec x ∈ [0 ; 10]:
-x² + 5x + 14 = 0 avec x ∈ [0 ; 10]
>> (x + 2)(-x + 7) = 0 avec x ∈ [0 ; 10]
Équation produit nul : Un produit est nul si et seulement si au moins un de se sfacteurs est nul.
>> Soit x + 2 = 0
x = -2
>> Soit -x + 7 = 0
-x = -7
x = 7
>> Sauf que, on a dit tout à l'heure que x ∈ [0 ; 10]
>>>> -2 est rejeté
S={ 7 }
Si on ne t'avait pas donné la forme factorisée, tu calcules le discrimant ∆ et tu trouves les solutions. (Normalement, tu vois ça en première).
f(x) = -x² + 5x + 14 = 0
∆ = b² - 4ac
∆ = 5² - 4*(-1)*14
∆ = 25 - (-4 * 14)
∆ = 25 - (-56)
∆ = 25 + 56
∆ = 81
∆ = 81 > 0 ; L'équation admet deux solutions réelles distinctes:
x1 = (-b - √∆)/2a = (-5 - 9)/(-2) = -14/(-2) = 7
x2 = (-b + √∆)/2a = (-5 + 9)/(-2) = 4/(-2) = -2
>> Encore une fois, puisque x ∈ [0 ; 10], -2 est rejeté.
S={ 7 }
>> Si tu n'as pas encore vu la résolution d'une équation du second degré, pas la peine de t'embrouiller avec ça ;)
5. Conclure au problème:
Pour que l'Aire de la partie grisée soit égale à 36cm², x doit valoir 7cm.
✅
* = multiplication
Bonne journée.
