Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
Il faut :
x+4 ≠ 0 soit x ≠ -4
Df=IR-{-4}
2)
Avec axe des x :
f(x)=0 donne :
2x²+5x-3=0
Δ=b²-4ac=5²-4(2)(-3)=49
√49=7
x1=(-5-7)/4=-3
x2=(-5+7)/4=1/2
Deux points : (-3;0) et (1/2;0)
Avec axe des y :
x=0 donne y=-3/4
Un point : (0;-3/4)
3)
f est de la forme u/v avec :
u=2x²+5x-3 donc u'=4x+5
v=x+4 donc v'=1
f '(x)=(u'v-uv')/v²
f '(x)=[(4x+5)(x+4)-(2x²+5x-3)] /(x+4)²
Je te laisse développer et trouver à la fin :
f '(x)=(2x²+16x+23) / (x+4)²
f '(x) est du signe de (2x²+16x+23) qui est < 0 entre les racines.
Δ=16²-4(2)(23)=72
√72=√(36 x 2)=6√2
x1=(-16-6√2)/4
x1=(-8-3√2)/2 (≈ -6.1)
x2=(-8+3√2)/2 ( ≈ -1.9 )
Variation ( tu mets les valeurs de x1 et x2 dans le tabeau) :
x------>-∞................x1..................-4...............x2.................+∞
f '(x)-->.........+..........0..........-........||.........-......0..........+...........
f(x)---->........C.........≈-19.5.....D....||......D......≈-2.5.....C........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
4)
a)
Voir graph joint.
b)
Difficile de faire apparaître les points de la 2) !!
Fenêtre utilisée sur ma calculatrice :
Xmin=-50
Xmax=50
Xgrad=10
Ymin=-50
Ymax=50
Ygrad=10
c)
Cf au-dessous de la droite y=-2x+13 pour x ∈]-∞;-4[ U ]-3.7;3.7[
Et au-dessus pour x ∈ ]-4;-3.7[ U ]3.7;+∞[
d)
On résout :
(2x²+5x-3)/(x+4) > -2x+13
(2x²+5x-3)/(x+4) +2x-13 > 0
[(2x²+5x-3) +(2x-13)(x+4)] / (x+4) > 0
Tu développes et à la fin :
(4x²-55) / (x+4) > 0
On appelle : E(x)=(4x²-55)/(x+4)
4x²-55 est < 0 entre ses racines.
x²=55/4
x1=-√55/2 et x2=√55/2 ==>seul "55" est sous la racine.
Notons que : -√55/2 ≈ -3.7 et √55/2 ≈ 3.7
x----------->-∞..............-4............-√55/2.................√55/2..............+∞
4x²-55--->.........+...............+...........0............-.............0............+.........
x+4-------->..........-........0.......+......................+............................+..........
E(x)------->..........-.........||........+.........0..........-..............0...........+.............
Donc Cf au-dessous de la droite pour x ∈]-∞;-4[ U ]-√55/2;√55/2[
et au-dessus pour x ∈ ]-4;-√55/2[ U ]√55/2;+∞[
Pour mon graph fait avec le logiciel gratuit Sine Qua Non, j'ai choisi :
axe des x : 1cm = 1 unité
axe des y : 1 cm= 5 unités
Sinon on ne voit rien.
