Bonjour,
1) On cherche x∈[tex]$\mathbb{R}[/tex] tel que :
[tex]\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-8} = 1[/tex]
Pour que cette équation admette une solution, il faut que les racines soient positives donc :
[tex]x^2+1 \geq 0[/tex] (toujours vrai)
[tex]x^2-8 \geq 0[/tex] (vrai quand [tex]|x| \geq \sqrt{8}[/tex])
On multiplie de chaque côté de l'équation par :
[tex]\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-8}[/tex]
On obtient :
[tex](\sqrt{x^2+1} + \sqrt{x^2-8})(\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-8}) = \sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-8}[/tex]
Donc :
[tex]x^2+1 -(x^2-8) = \sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-8}[/tex]
[tex]\sqrt{x^2+1} - \sqrt{x^2-8} = 9[/tex]
Posons A = [tex]\sqrt{x^2+1}\\[/tex] et B = [tex]\sqrt{x^2-8}[/tex]
On doit résoudre :
A + B = 1
A - B = 9
On trouve A = 5 et B = -4 comme solution.
Or [tex]\sqrt{x^2-8} \geq 0[/tex] donc ne peut pas être égal à -4. Cette équation n'admet pas de solution.
2) On cherche x∈[tex]$\mathbb{R}[/tex] tel que :
[tex]\sqrt{\sqrt{x+16} -\sqrt{x}} = 2[/tex]
Pour que cette équation admette une solution, il faut que x ≥ 0.
On élève au carré de chaque côté, on trouve :
[tex]\sqrt{x+16}-\sqrt{x} = 4[/tex]
On multiplie de chaque côté par :
[tex]\sqrt{x+16}+\sqrt{x}[/tex]
On obtient :
[tex](\sqrt{x+16}-\sqrt{x})(\sqrt{x+16}+\sqrt{x}) = 4(\sqrt{x+16}+\sqrt{x})[/tex]
Ce qui donne :
[tex]x + 16 - x = 4(\sqrt{x+16}+\sqrt{x})[/tex]
[tex]4\sqrt{x+16} + 4\sqrt{x} = 16[/tex]
[tex]\sqrt{x+16} + \sqrt{x} = 4[/tex]
Posons A = [tex]\sqrt{x+16}[/tex] et B= [tex]\sqrt{x}[/tex]
On doit résoudre :
A - B = 4
A + B = 4
On trouve A = 4 et B = 0
Donc x = 0 est solution de l'équation.
3) On cherche x∈[tex]$\mathbb{R}[/tex] tel que :
[tex]x^2 - 6x - \sqrt{x^2-6x-3} = 5[/tex]
Pour que cette équation admette une solution, il faut que
[tex]x^2 - 6x - 3 \geq 0[/tex]
On trouve Δ = 6² + 12 = 48 ≥ 0
Donc cette équation a un sens pour :
[tex]x\leq 3 - 2\sqrt{3}[/tex]
ou [tex]x \geq 3 + 2\sqrt{3}[/tex]
On pose A = [tex]x^2 - 6x[/tex]
L'équation devient :
[tex]A - \sqrt{A - 3} = 5[/tex]
Posons B = A - 3
L'équation devient :
[tex]B + 3 - \sqrt{B} = 5[/tex]
Donc [tex]B - \sqrt{B} = 2[/tex]
Posons C = [tex]\sqrt{B}[/tex]
On a [tex]C^2 - C - 2 = 0[/tex]
On résout cette équation du second degré :
Δ = 1 + 8 = 9 ≥ 0
Donc deux solutions :
[tex]C_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1[/tex]
[tex]C_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2[/tex]
Or C doit être positif car [tex]C = \sqrt{B} \geq 0[/tex]
Donc on garde la solution C = 2
Donc B = C² = 4
A = B + 3 = 7
On a alors :
[tex]x^2 -6x-7 = 0[/tex]
On résout cette équation du second degré :
Δ = 36 + 28 = 64 ≥ 0
Donc deux solutions :
[tex]x_1 = \frac{6-8}{2} = -1[/tex]
[tex]x_2 = \frac{6+8}{2} = 7[/tex]
On a bien :
[tex]x_1 = -1 \leq 3-2\sqrt{3}[/tex]
[tex]x_2 = 7 \geq 3+2\sqrt{3}[/tex]
Donc -1 et 7 sont solutions de l'équation.
4) On cherche x ∈ [tex]$\mathbb{R}[/tex] tel que :
[tex]\sqrt{2x + \sqrt{6x^2+1} } = x + 1[/tex]
La racine sera toujours positive pour tout x réel. Il faut néanmoins que x + 1 soit positif, donc x ≥ -1
On élève les deux côtés au carré, on obtient :
[tex]2x + \sqrt{6x^2 + 1} = (x+1)^2[/tex]
On simplifie :
[tex]2x + \sqrt{6x^2 + 1} = x^2 + 2x + 1 \\\sqrt{6x^2+1} - x^2 = 1[/tex]
On pose A = 6x²+1
On a alors :
[tex]\sqrt{A} - (\frac{A-1}{6}) = 1[/tex]
[tex]-\frac{1}{6}A + \sqrt{A} - \frac{5}{6} = 0[/tex]
On pose B = [tex]\sqrt{A}[/tex]
On obtient l'équation :
[tex]-\frac{1}{6}B^2 + B - \frac{5}{6} = 0\\[/tex]
On résout l'équation :
Δ = [tex]1 - \frac{20}{36} = \frac{16}{36} \geq 0[/tex]
Donc deux solutions :
[tex]B_1 = \frac{-1 - \frac{4}{6} }{-\frac{1}{3} } = \frac{-10}{6} \times -3 = 5\\ B_2 = \frac{-1 + \frac{4}{6} }{-\frac{1}{3} } = \frac{-2}{6} \times -3 = 1[/tex]
Donc A = 1 ou A = 25
Donc 6x² + 1 = 1 ou 6x² + 1 = 25
Donc 6x² = 0 ou 6x² = 24
Donc x = 0 ou x² = 4
Donc x = 0 ou x = 2.
Donc 0 et 2 sont solutions de l'équation.
