BONSOIR
voir pièce jointe pour tous les exercices cela permet de mieux comprendre (j'ai modélisé toutes les situations en couleur)
Q1
démontrer que (IJ) // (AD)
On va utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
soit les triangles (en rouge ) HJI et HAD
(HA) et (HD) sont sécantes en H
Par hypothèse,les points H, J, A, d'une part et H, I, D, d'autre part, sont alignés et ceci dans le même ordre.
si HJ/HA = HI/HD alors les droites (IJ) et (AD) seront parallèles
on calcule les rapports séparéments :
avec HA = 3 x HJ HI = 1 et HD = AE = 3
- → HJ/HA = HJ / 3 x HJ = 1/3
Comme HJ/HA = HI/HD on en conclut que (IJ) // (AD)
Q2
a) démontrer que HC = √34
triangle CDH rectangle en D donc HC hypoténuse de ce triangle (face à l'angle droit D)
d'après le Théorème de Pythagore on a:
HC² = CD² + HD² avec CD = AB = 5 et HD = AE = 3
HC² = 5² + 3²
HC² = 25 + 9
HC² = 34
⇒ HC = √34
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b) valeur exacte de HK
soit les triangles HIK et HDC (en bleu)
l'énoncé dit (CD) // (IK)
les droites (HD) et ( HC) sont sécantes en H
les points H;I;D et H;K;C sont alignés et dans le meme ordre
donc les triangles HIK et HDC sont semblables
les longueurs de leurs cotés sont proportionnelles 2 à 2
on pose :
HI/HD = HK/HC
avec HI = 1 ; HD = 3 et HC = √34
⇒ 1/3 = HK/√34 → produit en croix
⇒ 3 x HK = 1 x √34
⇒ HK = √34/3 → valeur exacte
Q3
a) démontrer que HB = √50
triangle BCH rectangle en C , HB est l'hypoténuse
d'après Pythagore :
HB² = BC² + HC² avec BC = AD = 4 et HC = √34
HB² = 4² + √34²
HB² = 16 + 34
HB² = 50
HB = √50
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b) calculer la valeur exacte de HL
soit les triangles HLK et HBC (en noir)
l'énoncé dit (KL)//(BC)
les droites (HB) et (HC) sont sécantes en H
les points H;L;B et H;K;C sont alignés et dans le meme ordre
les triangles HLK et HBC sont semblables et les longueurs de leurs cotés sont proportionelles 2 à 2 telles que :
⇒ HL/HB = HK/HC
avec HB = √50 ; HC = √34 et HK = √34/3
⇒ HL/√50 = √34/3 ÷ √34
⇒ HL /√50 = √34/3 x 1/√34
⇒ HL /√50 = 1/3 → produit en croix
⇒ 3 x HL = 1 x √50
⇒ HL = √50/3 → valeur exacte
Q4
démontrer que (JL)//(AB)
On va utiliser la réciproque du théorème de Thalès.
soit les triangles HJL et HAB ( en vert)
les droites (HA) et (HB) sot sécantes en H
on suppose que les points H;J;A et H;L;B sont alignés et dans le meme ordre
si HJ/HA = HL/HB alors (JL) et (AB) seront parallèles
on calcule séparément les 2 rapports
avec HA = 3 x HJ HL = √50/3 et HB = √50
HL/HB = √50/3 x 1/√50
HL/HB = 1/3
⇒ comme HJ/HA = HL/HB on en conclut que (JL) // (AB)
bonne soirée
