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bonjour pouvez vous m'aider svp

recherche déterminer les variations de la fonction racine carrée, notée R, sur son ensemble de définition.

1) rappeler l'ensemble de définition de la fonction R
2) on considère deux réels a et b tel que:
[tex]o \leqslant a < b[/tex]
on cherche à comparer R(a) et R(b)

a) démontrer que:
[tex]r(b) - r(a) = \frac{b - a }{ \sqrt{b} + \sqrt{a} } [/tex]
b) étudier alors le signe de cette différence

c) en déduire une comparaison entre :
[tex] \sqrt{a} \: et \: \sqrt{b} [/tex]
et conclure

Merci de m'aider au plus vite svp
​

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

La fct racine  carrée est définie sur [0;+∞[

2)

a)

Soient :

0 ≤ a < b

r(b)=√b  et r(a)=√a

Donc :

r(b)-r(a)=√b-√a

On va multiplier le membre de droite par :

(√b+√a) / (√b+√a) qui vaut 1 donc ne change pas la valeur du membre de droite.

r(b)-r(a)=(√b-√a)[(√b+√a) / (√b+√a)]

Mais au numérateur on a une identité remarquable :

(√b-√a)(√b+√a) =(√b)²-(√a)²=b-a

Donc :

r(b)-r(a)=(b-a) / (√b+√a)

b)

Le dénominateur (√b+√a) est positif donc :

r(b)-r(a) est du signe de (b-a).

Comme a < b , alors (b-a) > 0.

Donc :

r(b)-r(a) > 0.

c)

Donc :

√b > √a.

Sur [0;+∞[ , on est parti de b > a pour arriver à √b > √a, ce qui prouve que la fct racine carrée est croissante sur son intervalle de définition.

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