Réponse :
l' Aire mini des 2 triangles sera donc
obtenue pour xM = 4(√2 - 1)
Explications étape par étape :
■ croquis au brouillon à refaire au propre :
H M
A x x x x B
x I
D x x x C
G
■ il est évident que 0 ≤ x ≤ 4 cm .
■ Thalès dit :
ID/IM = IG/IH = IC/IA = DG/MH = DC/MA = GC/HA
or MA = x ; IH = h ; DC = 4 ; IG = 4-h donc :
(4-h)/h = 4/x
on a bien h/(4-h) = x/4 .
d' où 4h = 4x - hx
(4+x)h = 4x
h = 4x/(x+4) .
et enfin Aire des 2 triangles = 0,5hx + 2(4-h)
= 2x²/(x+4) + 8 - 2h
= 2x²/(x+4) + 8 - 8x/(x+4)
= 2x² - 8x + 8x + 32 /(x+4)
= 2(x²+16)/(x+4) .
■ dérivée :
f ' (x) = [ (x+4) (4x) - 2(x²+16) ] / (x+4)²
= [ 4x² + 16x - 2x² - 32 ] / (x+4)²
= (2x² + 16x - 32) / (x+4)²
= 2(x² + 8x - 16) / (x+4)² .
cette dérivée est nulle pour x ≈ 1,657 cm .
■ tableau-résumé :
x --> 0 1,657 4 cm
f ' (x) --> - 0 +
f(x) --> 8 6,6274 8 cm²
■ conclusion :
l' Aire mini des 2 triangles sera donc obtenue
pour xM voisin de 1,657 cm .
■ calcul précis de xM :
x² + 8x - 16 = 0 donne Δ = 8² + 4*16 = 128 = (8√2)²
donc xM = 0,5*8(√2 - 1)
= 4(√2 - 1) .
