Réponse :
Calculer en fonction de a les produits scalaires suivants :
1) vec(AB).vec(AC)
ici on utilise la projection orthogonale du vecteur AC sur la droite (AB)
donc vec(AB).vec(AC) = vec(AB).vec(AB) = AB² = (3a)² = 9a²
2) vec(AB).vec(AF)
le triangle ABF est équilatéral donc (FH) est la médiatrice du segment (AB) donc le projeté orthogonal du vecteur AF sur la droite (AB) est le vecteur AH donc on peut écrire que :
vec(AB).vec(AF) = vec(AB).vec(AH)
or les vecteurs AB et AH sont colinéaires de même sens
donc vec(AB).vec(AH) = AB x AH = 3 a x a = 3a²
donc vec(AB).vec(AF) = 3a²
3) vec(BC).vec(AF) = vec(BC).(vec(AB) + vec(BF))
= vec(BC).vec(AB) + vec(BC).vec(BF)
or vec(BF) = vec(BH) est le projeté orthogonale sur la droite (AB)
donc vec(BC).vec(AF) = 0
4) vec(BF).vec(AD) = vec(BA)+vec(AF)).vec(AD)
= vec(BA).vec(AD) + vec(AF).vec(AD)
les vecteurs BA et AD sont orthogonaux donc vec(BA).vec(AD) = 0
vec(AF).vec(AD) = vec(AH) x vec(AD) = 0
donc vec(BF).vec(AD) = 0
5) vec(HA).vec(BE) = - vec(AH).vec(BE) = - vec(HB).vec(BE) = -vec(HB).vec(BC) car vec(BE) est le projeté orthogonale sur la droite (BC)
donc vec(HA).vec(BE) = 0
Explications étape par étape :