Bonjour :))
[tex]\text{On pose la fonction }f(x)=x^{2}\ ,\forall x\in\mathbb R\\f'(x)=2x\ ,\forall x\in\mathbb R\\\\\text{\underline{Rappel :}}\text{ une \'equation tangente au point d'abcsisse x=a est}\\\text{donn\'ee par la relation suivante : }y=f'(a)(x-a)+f(a)\\\\\text{Nous cherchons l'\'equation tangente au point }x=\alpha:\\f'(\alpha)=2\alpha\ et\ f(\alpha)=\alpha^{2}\\\\y_{\alpha}=2\alpha(x-\alpha)+\alpha^{2}=\boxed{2\alpha x-\alpha^{2}}[/tex]
[tex]y_{\alpha}=2\alpha x-\alpha^{2}\ et\ y_{\alpha'}=2\alpha'x-(\alpha')^{2}\\\text{On cherche le point o\`u les droites }T_\alpha\text{ et }T_{\alpha'}\text{ se coupent.}\\\\\Leftrightarrow y_\alpha=y_{\alpha'}\\\\2\alpha x-\alpha^{2}=2\alpha'x-(\alpha')^{2}\\\\2x(\alpha-\alpha')=\alpha^{2}-(\alpha')^{2}\\\\x=\frac{(\alpha-\alpha')(\alpha+\alpha')}{2(\alpha-\alpha')}\\\\\boxed{x=\frac{\alpha+\alpha'}{2}}[/tex]
[tex]\text{Pour une valeur de }x=\frac{\alpha+\alpha'}{2}\text{, on trouve :}\\y(\frac{\alpha+\alpha'}{2})=2\alpha(\frac{\alpha+\alpha'}{2})-\alpha^{2}\\y(\frac{\alpha+\alpha'}{2})=\alpha^{2}+\alpha\alpha'-\alpha^{2}\\y(\frac{\alpha+\alpha'}{2})=\alpha\alpha'[/tex]
[tex]\text{Les droites }T_\alpha\text{ et }T_{\alpha'}\text{ se coupent au point G de}\\\text{coordonn\'ees }(\frac{\alpha+\alpha'}{2};\alpha\alpha').[/tex]
[tex]y_\alpha=2\alpha x-\alpha^{2}\ et\ y_{\alpha'}=2\alpha'x-(\alpha')^{2}\\\text{Deux droites (d1) et (d2) de vecteurs directeurs respectifs }\vec{u}\text{ et }\vec{v}\\\text{sont perpendiculaires si et seulement si : }\vec{u}.\vec{v}=\vec{0}[/tex]
[tex]\text{Une droite d'\'equation }ax+by+c=0\text{ a pour vecteur directeur}\\\vec{u}(-b;a)\text{ et vecteur normal }\vec{n}(a;b).[/tex]
[tex]\vec{n}_\alpha\left( \begin{array}{c}2\alpha' \\-1 \\\end{array} \right)\ et\ \ \vec{n}_{\alpha'}\left( \begin{array}{c}2\alpha \\-1 \\\end{array} \right)[/tex]
[tex]\text{Le produit scalaire de la normale \`a la tangente }\alpha\text{ par la}\\\text{la normale \`a la tangente }\alpha'\text{ est :}\\\vec{n}_{\alpha}.\vec{n}_{\alpha'}=2\alpha'\times2\alpha-1\times-1=0\\\boxed{\alpha\alpha'=-\frac{1}{4}}\\\\\text{RAPPEL : }\alpha\alpha'\text{ repr\'esente l'ordonn\'e du point G. Et la}\\\text{droite (D) est d'\'equation : }y=-\frac{1}{4}[/tex]
[tex]\text{On consid\`ere le point M}(m;-\frac{1}{4}).\\y_\alpha(m)=-\frac{1}{4}\\\\y_\alpha(m)=2\alpha m-\alpha^{2}=-\frac{1}{4}\\\\\text{Ce qui nous donne : }\boxed{\alpha^{2}-2m\alpha-\frac{1}{4}=0}[/tex]
[tex]\text{On pose }X=\alpha.\text{ On a donc :}\\X^{2}-2mX-\frac{1}{4}=0\\\\\Delta=(-2m)^{2}-4\times1\times-\frac{1}{4}=4m^{2}+1\\\text{On peut affirmer que : }\\\Delta>0,\forall m\in\mathbb R\\\\\text{On a donc deux solutions r\'eelles distinctes :}\\\\\alpha_1=\frac{2m-\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=m-\frac{1}{2}\sqrt{4m^{2}+1}\\\\\alpha_2=\frac{2m+\sqrt{4m^{2}+1}}{2}=m+\frac{1}{2}\sqrt{4m^{2}+1}[/tex]
[tex]f'(\alpha_1)=2m-\sqrt{4m^{2}+1}\ \ et\ \ f'(\alpha_2)=2m+\sqrt{4m^{2}+1}\\\\\vec{n}_{\alpha_1}\left( \begin{array}{c}2m+\sqrt{4m^{2}+1} \\1 \\\end{array} \right)\ et\ \ \vec{n}_{\alpha_2}\left( \begin{array}{c}2m-\sqrt{4m^{2}+1} \\1 \\\end{array} \right)[/tex]
[tex]\vec{n}_{\alpha_1}.\vec{n}_{\alpha_2}=(2m)^{2}-(\sqrt{4m^{2}+1})^{2}+1^{2}\\\\\vec{n}_{\alpha_1}.\vec{n}_{\alpha_2}=4m^{2}-4m^{2}+1-1=0[/tex]
[tex]\text{Les deux tangentes sont donc perpendiculaires.}[/tex]
Espérant t'avoir apporté les éléments nécessaires, je reste à ta disposition pour répondre à tes questions si besoin :))
Très bonne continuation :)
