Réponse :
Explications étape par étape :
Parfois avec les maths... il ne faut pas chercher trop compliqué.
1. Raison et premier terme
On nous dit que la suite est arithmétique, donc elle s'écrit sous la forme : [tex]V_{n+1} = V_n + r[/tex][tex]V_{n} = V_{n+1} - \frac{-3}{2} = V_{n+1} + \frac{3}{2}[/tex]
Pour rester simple, tu peux écrire :
[tex]V_5=7\\\\V_6 = V_5 + r=7+r\\\\V_7 = V_6+r=7+2r\\\\V_8 = V_7+r=7+3r\\\\V_9=V_8+r=7+4r=1\\[/tex]
Donc on peut déduire que :
[tex]7+4r =1\\\\\Leftrightarrow 4r=-6\\\\\Leftrightarrow r=-\frac{3}{2}[/tex]
La raison r vaut -3/2 cela veut dire que pour passer de [tex]V_n[/tex] à [tex]V_{n+1}[/tex] on soustrait 3/2... donc pour faire aller contraire, passer de [tex]V_{n+1}[/tex] à [tex]V_n[/tex] on doit ajouter 3/2. En d'autres termes :
[tex]V_n = V_{n+1} + \frac{3}{2}[/tex]
Pour aller de [tex]V_5[/tex] à [tex]V_0[/tex] il y a 5 termes, donc [tex]V_0=V_5+5\times\frac{3}{2} = 7 + \frac{15}{2} = \frac{29}{2}[/tex]
2. Sens de variation
[tex]V_{n+1} = V_n-\frac{3}{2}[/tex]
Donc cela veut dire que [tex]V_{n+1}>V_n[/tex]. Cette suite est donc décroissante
3. Terme général
[tex]V_0=\frac{29}{2}\\\\V_1=V_0 - \frac{3}{2}=\frac{29}{2} - \frac{3}{2}\\\\V_2=V_1 - \frac{3}{2}=\frac{29}{2} - 2\times\frac{3}{2}\\\\...\\\\V_n = \frac{29}{2}-\frac{3n}{2}[/tex]
4. Calcul de [tex]S = \sum_{n=53}^{100}V_n[/tex]
[tex]S = (100-53)\times\frac{29}{2} - \frac{3}{2}\sum_{n=53}^{100}n[/tex]
Je pense qu'on doit passer par la formule qui nous dit que la somme des n premiers entiers s'écrit sous la forme [tex]\frac{n(n+1)}{2}[/tex]
Trouver la somme des entiers de 53 à 100 revient donc à trouver la somme des entiers de 1 à 100 et de retrancher la sommes des entiers de 1 à 52.
Donc :
[tex]\sum_{n=53}^{100}n = \frac{100\times101}{2} - \frac{52\times53}{2} = 3672[/tex]
On trouve alors pour S :
[tex]S = (100-52)\times\frac{29}{2} - \frac{3}{2}\sum_{n=53}^{100}n\\\\S = 48\times\frac{29}{2} - \frac{3}{2}\times3672=-4812[/tex]
