Réponse :
Explications étape par étape :
Bonjour Camille... Tu avais pourtant bien progressé hier ! Pour résumer notre discussion :
1. a) Coordonnées de [tex]\overrightarrow{AB}[/tex] et [tex]\overrightarrow{AC}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}x_B-x_A&\\y_B-y_A&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}4-(-2)&\\4-1&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}6&\\3&\end{array}\right)[/tex]
[tex]\overrightarrow{AC}\left(\begin{array}{c}x_C-x_A&\\y_C-y_A&\end{array}\right)= \left(\begin{array}{c}2,5-(-2)&\\-2-1&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}4,5&\\-3&\end{array}\right)[/tex]
b) Calcul de [tex]\overrightarrow{AG}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}1/3(x_{AB}+x_{AC})&\\1/3(y_{AB}+y_{AC})&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1/3\times10,5&\\1/3\times0&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}3,5&\\0&\end{array}\right)[/tex]
Pour la suite de l'exercice, on va calculer les coordonnées de G maintenant :
[tex]\overrightarrow{AG}\left(\begin{array}{c}x_G-x_A&\\y_G-y_A&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}x_G-(-2)=3,5&\\y_G-1=0&\end{array}\right)[/tex]
On trouve donc pour G :
[tex]G\left(\begin{array}{c}1,5&\\1&\end{array}\right)[/tex]
2.a) Calcul de I milieu de [AC]
[tex]I\left(\begin{array}{c}1/2(x_A+x_C)&\\1/2(y_A+y_C)&\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1/2(0.5)&\\1/2(-1)&\end{array}\right) =\left(\begin{array}{c}0.25&\\-0.5&\end{array}\right)[/tex]
b) Démontrer que B, G, I sont alignés
Démontrer que B, G, I sont alignés revient à démontrer que [tex]\overrightarrow{BG}[/tex] et [tex]\overrightarrow{BI}[/tex] sont colinéaires :
[tex]\overrightarrow{BG}\left(\begin{array}{c}x_G-x_B&\\y_G-y_B&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-2,5&\\-3&\end{array}\right)[/tex]
[tex]\overrightarrow{BI}\left(\begin{array}{c}x_I-x_B&\\y_I-y_B&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-3,75&\\-4,5&\end{array}\right)[/tex]
On voit que [tex]\overrightarrow{BI} = \frac{3}{2}\times\overrightarrow{BG}[/tex], ils sont donc bien colinéaires... et comme ces deux vecteurs partagent le point B, les 3 points B, G, I sont bien alignés
3. a) Calcul de J milieu de [AB]
[tex]J\left(\begin{array}{c}1/2(x_A+x_B)&\\1/2(y_A+y_B)&\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}1&\\2,5&\end{array}\right)[/tex]
b) Démontrer que C, G, J sont alignés
Avec le même raisonnement que 2.b) on trouve :
[tex]\overrightarrow{CG}\left(\begin{array}{c}x_G-x_C&\\y_G-y_C&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1&\\3&\end{array}\right)[/tex]
[tex]\overrightarrow{CJ}\left(\begin{array}{c}x_J-x_C&\\y_J-y_C&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}-1,5&\\4.5&\end{array}\right)[/tex]
Et on déduit que ces vecteur sont colinéaires car [tex]\overrightarrow{CJ} = \frac{3}{2}\times\overrightarrow{CG}[/tex], donc les point C, G, J sont alignés.
4. Signification du point G
Le point G représente le centre de gravité du triangle. Par définition, ce centre de gravité a pour expression vectorielle (en utilisant la formule de Chasles) :
[tex]\overrightarrow{OG} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{OA} +\overrightarrow{OB} +\overrightarrow{OC} )[/tex] où O est le centre du repère. Donc [tex]\overrightarrow{OG}[/tex] a pour coordonnées :
[tex]\frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}x_A+x_B+x_c&\\y_A+y_B+y_C&\end{array}\right) = \frac{1}{3}\left(\begin{array}{c}4,5&\\3&\end{array}\right) = \left(\begin{array}{c}1,5&\\1&\end{array}\right)[/tex]
Ce qui correspond bien à la valeur trouvée en 1.b)