LouisPot
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Bonjour, j'ai un DM a faire et je n'ai rien capté (dans aucun des exos) Voici j'énnoncé :


Question 1 :

Le plan est muni d’un repère orthonormé.

P est la parabole d’équation y=[tex]x^{2}[/tex]+4. H est l’hyperbole d’équation y=8/x.


1. Démontrer que P et H ont un seul point d’intersection si et seulement si l’équation (E) [tex]x^{3}[/tex] + 4x − 8=0 admet une unique solution.


2. f est la fonction définie sur R par f(x)=[tex]x^{3}[/tex] + 4x − 8. Étudier les variations de f sur R puis dresser son tableau de variations. Conjecturer le nombre de solutions à l’équation f(x)=0 sur [1;2].


Question 2 :

Par balayage : on note a la solution de (E).

1. Tracer, à la calculatrice, la courbe représentative de la fonction f.


2. Par lecture graphique, retrouver un encadrement à l’unité de la solution a. Justifier.


3. À l’aide du tableau de valeurs de la calculatrice, donner un encadrement de a d’amplitude [tex]10^{-1}[/tex] puis un encadrement d’amplitude [tex]10^{-2}[/tex].


4. Poursuivre le même procédé, donner un encadrement de a d’amplitude [tex]10^{-3}[/tex].


Merci d'avance (Si possible une explication détailler pour que je comprenne enfin comment faire les calcules)

Sagot :

Réponse :

bonsoir

Explications étape par étape :

Si on trace  sur un repère orthonormé et par simple calcul mental la parabole y=x²+4 et l'hyperbole y=8/x on voit qu'i n'y a qu'un seul  point d'intersection des deux courbes pour un valeur "alpha" avec  1<alpha<2  

1)Les abscisses des  points d'intersection  des  deux courbes sont les solutions de l'équation x²+4=8/x   avec x différent de 0

soit (x³+4x-8)/x=0

Un quotient est nul si son dividende est nul avec diviseur non nul.

Recherchons les solutions de x³+4x-8=0

Comme il n'y a pas solution évidente étudions la fonction f(x)=x³+4x-8 sur R

limites si x tend vers -oo, f(x) tend vers -oo

si x tend vers +oo, f(x tend vers +oo

Dérivée  f'(x)=3x²+4    elle est toujours >0

Donc f(x) est croissante .

f(-oo)=-oo et f(+oo)=+oo Compte tenu de la monotonie et de la continuité de f(x) sur R et d'après le TVI, il existe une et une seule valeur "alpha" telle que f(alpha)=0

2) f(1)=1+4-8=-3  et f(2)=8+8-8=+8

donc 1<alpha<2

3et 4)  Avec ta calculatrice resserre l'encadrement de alpha

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