Réponse :
Explications étape par étape :
1. Limite aux bornes
La limite en [tex]2^+[/tex] est assez facile... on s'intéresse principalement au quotient [tex]-\frac{2}{x-2}[/tex] dont la limite tend vers -∞ quand x tend vers [tex]2^+[/tex] on en déduit donc que [tex]\lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty[/tex]
Pour la seconde borne (+∞), quand on a un quotient il est souvent interessant de travailler de la manière suivante:
D'abord on exprime f(x) sous forme de fraction unique
[tex]f(x)=\frac{(x-1)(x-2)-2}{x-2}[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x^2-2x-x+2-2}{x-2}[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x^2-3x}{x-2}[/tex]
[tex]f(x)=\frac{x(x-3)}{x(1-2/x)} =\frac{x-3}{1-2/x}[/tex]
Quand x tend vers +∞, le dénominateur tend vers 1 et donc f(x) tends vers +∞
[tex]\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty[/tex]
2.a. Dérivée de f
[tex]f'(x)=1+\frac{2}{(x-2)^2}[/tex]
b. Variations de f
On en déduit donc que f' est toujours positive (car un carré est toujours positif) sur l'intervalle étudié et que f est strictement croissante sur cet intervalle.
x | 2 +∞
---------------------------------------------
f'(x) | | +
f(x) | | -∞ [tex]\nearrow[/tex] +∞
Je n'ai pas le temps de finir... mais j'espère que ça va t'aider !
