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Soit f la fonction définie sur [-10 ,10] par : f(x) = 10/1+e^-x


On note C a courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal (o ; ; ). On prendra comme unité 1 cm sur chaque axe.


1. a) Démontrer que pour tout nombre réel x, f'(x) = 10 e^-x / (1+e^-x)²

b) Etudier les variations de f sur [-10,10]


2. a) Compléter après l'avoir reproduit, le tableau de valeurs ci-après. On donnera les valeurs approchées de f(x) à 10-1 près.


X 0 1 2 3 4 5

F(x)


b) On admet que le point I de coordonnées (0,5) est centre de symétrie de la courbe C. Construire la courbe C.


3. a) résoudre par le calcul l'équation : f(x) = 9

b) Donner une valeur approchée arrondie à 10-2 de la solution obtenue en a).

c) Placer sur le graphique le point A de la courbe C d'abscisse .


4. on admet que f(x) représente le nombre de millions de foyers équipés d'un bien ménager B, x étant le rang de l'année à partir de 1980. Ainsi f(0) représente le nombre de millions de foyers équipés fin 1980, f(1) représente le nombre de millions de foyers équipés fin 1981, f(-1) représente le nombre de millions de foyers équipés fin 1979…

a) Déterminer quel était le ombre de foyers équipés en 1978.

b) Déterminer en quelle année 9 millions de foyers étaient équipés.



Je remercie d'avance ceux qui s'interesseront à mon problème, je ne cherche pas à ce qu'on me le fasse mais juste des explications!

J'attends avec impatience vos réponses MERCI !

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ BONJOUR !

■ f(x) = 10 / (1 + e^(-x)) sur [ -10 ; +10 ]

■ aucun souci de Domaine de définition :

   Df = IR .

■ dérivée f ' (x) :

   f ' (x) = 10 e^(-x) / (1 + e^(-x))²   facile !

   cette dérivée est TOUJOURS positive

donc la fonction f est TOUJO§URS croissante !

■ tableau demandé :

   x --> -10     -5     0     1     2     2,2     3     4       5     6   10

f ' (x) ->                   +

 f(x) -->  0   0,07   5   7,3  8,8     9    9,5  9,8  9,93  10  10

■ le centre de symétrie est bien ( 0 ; 5 ) .

■ f(x) = 9 donne :

   9 (1 + e^(-x)) = 10

      (1 + e^(-x)) = 10/9

            e^(-x) = 1/9

                -x  = Ln(1/9) = - Ln9 = -2 Ln3

                 x  = 2 Ln3 ≈ 2,197

     le texte demande l' arrondi au centième, donc x ≈ 2,2o .

■ 1,2 million ( environ ) de foyers équipés en 1978 ;

  8,8 millions en 1982 ; 9,5 millions en 1983 .

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