Bonsoir,
Soit [tex]f[/tex] la fonction définie sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par [tex]f(x)=x-1-e^{x}[/tex]
1) La fonction dérivée de [tex]f[/tex] est donc :
[tex]f'(x)=1-0-e^{x}=1-e^{x}[/tex]
2) Pour montrer que [tex]f[/tex] admet un maximum, on étudie le signe de sa dérivée [tex]f'[/tex].
On a donc :
∀ [tex]x[/tex] ∈ [tex]\mathbb{R}[/tex], [tex]f'(x)>0[/tex]
⇔ [tex]1-e^{x}>0[/tex]
⇔ [tex]e^{x}<1[/tex]
⇔ [tex]e^{x}⇔ [tex]x<0[/tex]
Ainsi, la fonction [tex]f[/tex] est croissante sur ]-∞ ; 0] et décroissante sur
[0 ; +∞[.
Le maximum de la fonction est atteint en [tex]x=0[/tex] et sa valeur correspond au nombre [tex]f(0)[/tex] qui est égal à :
[tex]f(0)=0-1-e^{0}=-1-1=-2[/tex]
3) D'après le graphique, on conjecture que [tex]C_{g}[/tex] est au-dessus de [tex]C_{h}[/tex] pour tout réel [tex]x[/tex].
En reprenant la question 2, pour tout réel [tex]x[/tex], la fonction [tex]f[/tex] est strictement négative.
On a alors :
[tex]f(x)<0[/tex] ⇔ [tex]h(x)-g(x)<0[/tex] ⇔ [tex]h(x)Ainsi, la conjecture est validée.
En espérant t'avoir aidé.
