Explications étape par étape:
Le calcul littéral est un calcul avec des nombres et des lettres où chaque lettre désigne une inconnue (nombre qu’on ne connaitpas, dont on ne sait pas la valeur). Voici la formule de base du calcul littéral : ka+kb = k(a+b) ou (a+b)k.
Décomposons cette formule : k × (a + b) = k × a + k × b ; soit k(a + b) = ka + kb
C’est le même principe pour la soustraction : k × (a − b) = k × a − k × b ; soit k(a − b) = ka – kb
On appelle cela la distributivité car on « distribue les lettres (nombres dans un cas concret) sur les autres ». Dans un autre langage on dit qu’on développe l’expression.
Développement du calcul littéral
Développer signifie transformer une multiplication en une somme ou en une différence.
Dans les formules précédentes, on a transformé le produit de k par (a + b) (ou (a −b)) en une somme (ou une différence). Ici, on dit que l’on a développé k × (a + b) et k × (a − b). On parle alors de distributivité de la multiplication par rapport à l’addition (quand il y a le signe positif) ou à la soustraction (quand il y a le signe négatif).
Exemple : développer l’expression 5(2x − 8).
D’après les formules de distributivité, on a : 5(2x − 8) = 5 × 2x − 5 × 8 = 10x – 40.
Factorisation de l’expression littérale
À l’inverse, factoriser signifie transformer une somme ou une différence en un produit. En lisant de droite vers la gauche les formules de distributivité précédentes, on dit que l’on a factorisé l’expression par k (produit de deux facteurs). On a donc factorisé k × a + k × b et k × a − k × b.
La factorisation permet de simplifier l’expression mathématique. Factoriser une expression c’est trouver un facteur commun aux nombres situés entre les parenthèses.
Exemple : Factorisons par x l’expression 2x + 7x.
2x + 7x = x (2 + 7) = 9x.
Simplifions maintenant en factorisant l’expression 6a + 4b – 2a + 8b.
6a + 4b – 2a + 8b = 6a – 2a + 4b + 8b = a(6 – 2) + b(4 + 8) = 4a + 12b
