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Pouvez-vous m’aider svp.

On note C, et C, les courbes représentatives des fonctions f et g définies sur R par:

f(x) = x2 + 5x + 7/2. (x est au carré)

g(x) = -x2 – 3x ( -x est au carré)

Etudier la position relative de C, et Cg, faites le tableau des signes

Merci pour vos réponses


Sagot :

OzYta

Bonjour,

Soit [tex]f[/tex] et [tex]g[/tex] deux fonction définies sur [tex]\mathbb{R}[/tex] par :

  • [tex]f(x)=x^{2} +5x+\frac{7}{2}[/tex]
  • [tex]g(x)=-x^{2} -3x[/tex]

On définit une fonction [tex]h[/tex] telle que :

[tex]h(x)=f(x)-g(x)\\\\h(x)=x^{2} +5x+\frac{7}{2}-(-x^{2} -3x)\\\\ h(x)=x^{2} +5x+\frac{7}{2}+x^{2} +3x\\ \\h(x)=2x^{2} +8x+\frac{7}{2}[/tex]

Pour [tex]2x^{2} +8x+\frac{7}{2}[/tex], on a :

Δ = [tex](-8)^{2}-4\times2\times\frac{7}{2}[/tex]

Δ = 36

Comme Δ = 36 > 0, [tex]h'[/tex] admet deux racines distinctes :

[tex]x_{1}=\frac{-8-\sqrt{36} }{4}=\frac{-8-6}{4}=-\frac{14}{4}=-\frac{7}{2} \\ \\ x_{1}= \frac{-8+\sqrt{36} }{4}=\frac{-8+6}{4}=-\frac{2}{4}=-\frac{1}{2}[/tex]

Ainsi, [tex]h'[/tex] est du signe de [tex]a = 2[/tex], c'est-à-dire positif à l'extérieur des racines et du signe de [tex]-a=-2[/tex], c'est-à-dire négatif à l'intérieur des racines.

D'où le tableau de variations de [tex]h[/tex] :

Valeurs de x   -∞                     -7/2                  -1/2                     +∞              

Signe de [tex]h'[/tex]                   +             0          -          0            +  

Variations de [tex]h[/tex]           [tex]$\nearrow[/tex]                          [tex]$\searrow[/tex]                       [tex]$\nearrow[/tex]

En observant le tableau de variations, on obtient :

  • Sur ]-∞ ; -7/2]∪[-1/2 ; +∞[, h'(x) ≥ 0 ;

D'où f(x) ≥ g(x). D'où [tex]C_{f}[/tex] est au-dessus de [tex]C_{g}[/tex].

  • Sur [-7/2 ; -1/2], h'(x) ≤ 0 ;

D'où f(x) ≤ g(x). D'où [tex]C_{f}[/tex] est en-dessous de [tex]C_{g}[/tex].

En espérant t'avoir aidé.

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