ambre200535
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Bonsoir j'aurais vraiment besoin d'aide s'il vous plaît pour cet exercice en math. Je n'y arrive pas du tout. Merci par avance à ceux qui voudront bien m'aider^^

Un laboratoire pharmaceutique fabrique un produit solide conditionné sous la forme d’un parallélépipède rectangle (appelé aussi pavé droit) dont le volume est 576 mm^3 . On note y la hauteur ; ses autres dimensions sont x et 2x (x et y sont en mm) et x doit être nécessairement compris entre 3 et 12 mm.

1) Calculer y pour x = 4 mm.
2) Exprimer y en fonction de x.
3) On note S(x) la surface totale du parallélépipède rectangle en mm^2 .
Montrer que, pour tout réel x appartenant à [3 ; 12], S(x) = 1728/x + 4x^2 .
4) Soit S la fonction qui à x associe S(x) sur l’intervalle [3 ; 12] et S′ sa dérivée.
Exprimer S ′ (x) pour tout réel x appartenant à [3 ; 12]
Etudier le signe de S ′ (x) sur [3 ; 12], puis dresser le tableau de variation de S sur [3 ; 12].
5) Quelles dimensions doit-on donner à ces produits pour que leur surface ait une aire minimale ? Justifier

Sagot :

Pitouille

Réponse :

Explications étape par étape :

1) le volume d'un parallélépipède rectangle est donné par la formule : Volume = Longueur x largeur x hauteur, dans notre cas, on a :

[tex]V = 2x \times x \times y = 2x^2\times y = 576[/tex]

soit pour x = 4

[tex]32y = 576\\y = 18[/tex]

2) y en fonction de x:

[tex]y = \frac{576}{2x^2} = \frac{288}{x^2}[/tex]

3) La surface totale est égale à la somme des surfaces de chaque face du parallélépipède

[tex]S(x) = 2\times 2x \times x + 2 \times xy + 2 \times 2xy\\\\S(x) = 4x^2 + \frac{576}{x} + \frac{1152}{x}\\\\S(x) = 4x^2 + \frac{1728}{x}[/tex]

On note qu'on a remplacé y par la valeur trouvée précédemment.

4) Dérivée de S(x)

[tex]S'(x) = 8x - \frac{1728}{x^2}[/tex]

Etudier le signe de [tex]8x - \frac{1728}{x^2}[/tex] revient à étudier le signe de [tex]8x^3-1728[/tex] (on multiplie [tex]8x[/tex] par [tex]x^2[/tex] pour mettre au même dénominateur) car [tex]x^2 > 0.[/tex]

[tex]8x^3 - 1728 > 0\\8x^3 > 1728\\x^3 > 12[/tex]

Donc sur [3, 12], S'(x) est négative sur [3, 6[ et positive sur ]6, 12] (et nulle pour x = 6).

S(x) est donc décroissante sur [3, 6[  et croissante sur ]6, 12]

5) la surface est donc minimale quand S(x) atteint son minimum, c'est à dire pour x = 6. Les dimensions sont une hauteur de y = 8 mm et une base de 6 mm par 12 mm.

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