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Le mathématicien Al-Khwarizmi (2800) a réussi à déterminer
une solution de l'équation x² + 12x = 45 en considérant le
rectangle AEFD ci-contre:
1º) Expliquer le lien entre l'équation initiale et la surface du rectangle.
D
En découpant le rectangle BEFC en deux rectangles de mêmes dimensions, il obtient le
carré ci-dessous.
2°) Donner les dimensions du carré en fonction de x
3) En travaillant sur les aires, expliquer pourquoi : x2 + 12x = (x + 6)2 - 36
4°) Résoudre alors l'équation initiale.
5) En utilisant la méthode de Al-Khwarizmi, à votre tour de déterminer une solution de
x? + 10x = 75

Le Mathématicien AlKhwarizmi 2800 A Réussi À Déterminer Une Solution De Léquation X 12x 45 En Considérant Le Rectangle AEFD Cicontre 1º Expliquer Le Lien Entre class=

Sagot :

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Sans formule de politesse de ta part ,je crains que ma réponse soit supprimée par un modérateur ! Je t'avais prévenue.

1)

Aire AEFD=longueur * largeur=(12+x)x=12x+x²=x²+12x

2)

Le carré sur la gauche de ton exo a pour côté : x+6.

3)

Dans BEFC , on découpe 2 rectangles de 12/2= 6 cm de longueur et "x" cm de largeur.

Aire AEFD=aire ABCD + aire BEFC

Aire AEFD=x²+12x

On a assemblé les 3 morceaux de AEFD pour faire la figure de gauche qui est un carré dont le côté mesure (x+6) cm.

Ce grand carré de gauche a une aire de (x+6)² cm².

Mais on se retrouve avec le carré jaune en trop dont le côté est 6 cm et l'aire : 6²=36.

Donc :

x+12x=(x+6)²-36

4)

x²+12x=45

devient :

(x+6)²-36=45

(x+6)²=45+36

(x+6)²=81

Al-Khwarizmi ne connaissait que la racine positive donc il coninue ainsi :

x+6=9

x=3

5)

Tu fais un carré ABCD de côté "x" puis accolé un rectangle BEFC de longueur 10 cm que tu découpes en 2.

Aire AEFD=x²+10x

Tu formes avec les 3 morceaux un carré comme celui de gauche dont le côté vaut (x+5).

Aire de ce grand carré : (x+5)².

Aire du carré jaune : 5²=25.

Donc:

x²+10x=(x+5)²-25

L'équation :

x²+10x=75

devient :

(x+5)²-25=75

(x+5)²=75+25

(x+5)²=100

Al-Khwarizmi ne connaissait que la racine positive donc il coninue ainsi :

x+5=10

x=5