[tex]h(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} =\frac{f(-x)-f(x)}{2} =\frac{-(f(x)-f(-x))}{2} =-h(x)[/tex]1) une fonction f est paire si sa courbe représentative admet l'axe des ordonnées comme axe de symétrie.
Cela est équivalent à dire que f(-x) = f(x).
Dans l'expression de g(x) on va remplacer x par -x et manipuler cette expression pour faire apparaitre l'expression de g(x)
[tex]g(-x)=\frac{f(-x)+f(-(-x))}{2} =\frac{f(-x)+f(x)}{2} =g(x)[/tex]
2) une fonction f est impaire lorsque sa courbe représentative admet l'origine du repère comme centre de symétrie.
Cela est équivalent à dire que f(-x) = -f(x)
Dans l'expression de h(x), on va remplacer x par -x et manipuler cette expression pour essayer de faire apparaitre l'expression de -h(x).
[tex]h(-x)=\frac{f(-x)-f(-(-x))}{2} =\frac{f(-x)-f(x)}{2} =\frac{-(f(x)-f(-x))}{2} =-h(x)[/tex]
3) [tex]g(x)+h(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2} +\frac{f(x)-f(-x)}{2} =\frac{f(x)+f(-x)+f(x)-f(-x)}{2} =\frac{2f(x)}{2} =f(x)[/tex]
4) Une fonction f définie sur un intervalle symétrique par rapport à 0 (comme R par exemple) peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire.
