Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Exo 2 :
1)
V=aire base x hauteur
V=x²h
2)
J'ai l'impression que ce que pb appelle "aire latérale" est en fait l'aire totale , y compris donc l'aire des 2 bases !!
Aire latérale=périmètre de la base * h
Aire latérale=4xh
Aire totale=2x²+4xh (car aire des 2 carrés de base=2x²)
3)
V=x²h=1500
Donc :
h=1500/x²
que l'on reporte dans:
Aire totale=2x² + 4x/ 1500/x² ==>On simplifie par "x" :
Aire totale=S(x)=2x²+(6000/x)
4)
La dérivée de 2x² est 4x et celle de 6000/x est -6000/x².
S '(x)=4x - (6000/x²)
On réduit au même déno :
S '(x)=(4x³-6000)/x²
5)
S '(x) est donc du signe de :
g(x)=4x³-6000
g '(x)=12x² qui est toujours positive
x--------->0................................+∞
g '(x)----->...............+..................
g(x)------>...............C...............
C=flèche qui monte.
6)
g(11)=-676
g(12)=912
g(x) est continue et strictement croissante sur [11;12] passant d'une valeur négative pour x=11 à une valeur positive pour x=12. Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , sur cet intervalle , il existe un unique réel α tel que g(α)=0.
La calculatrice donne :
α ≈ 11.45
car g(11.45)≈ 4.49 et g(11.44) ≈ -11.22
7)
Donc S '(x) < 0 sur [0;α] et > 0 sur [α;+∞[
Variation de S(x) :
x--------->0...............α≈11.45................+∞
S '(x)----->.......-...........0..............+..........
S(x)------->........D........?..............C.........
D=flèche qui descend et C=flèche qui monte.
S est donc minimum pour x≈11.45 cm.
On remarque alors que h ≈x.
En effet :
h=1500/x²=1500/11.45²≈11.44
