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Exercice3)
=
A, B, C sont trois points non alignés de l'espace. I est le milieu de [BC]. Le point G est
tel que : GA + GB + GC = 7.
a) Démontrer que GB + GC = 2GT.
b) En déduire que les points G, A et I sont alignés et que G est le centre de gravité du
< triangle ABC.
+
=


Bonjour , quelqu’un pourrait m’aider je n’y arrive pas du tout je bloque

Exercice3 A B C Sont Trois Points Non Alignés De Lespace I Est Le Milieu De BC Le Point G Est Tel Que GA GB GC 7 A Démontrer Que GB GC 2GT B En Déduire Que Les class=

Sagot :

Micka44

Bonsoir :))

[tex]\textbf{\underline{Exercice 3).}}\\\\a)\ \overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB})+(\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IC})\\\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}+\overrightarrow{IB}+\overrightarrow{IC}[/tex]

[tex]\text{On sait que }I\text{ est milieu de [BC]}.\text{ Cela implique :}\\\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}\Leftrightarrow \overrightarrow{IC}-\overrightarrow{BI}=\overrightarrow{IC}+\overrightarrow{IB}=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]\text{Donc, il nous reste:}\ \boxed{\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=2\overrightarrow{GI}}[/tex]

[tex]b)\ \text{Le point G est tel que:}\ \overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}+2\overrightarrow{GI}=\overrightarrow{0}\\\\\Leftrightarrow \overrightarrow{GA}=-2\overrightarrow{GI}[/tex]

[tex]\textbf{\underline{Rappel du crit\`ere de colin\'earit\'e :}}\\\vec{u}\ et\ \vec{v},\ deux\ vecteurs\ du\ plan.\ On\ dit\ que\ \vec{u}\ et\ \vec{v}\ sont\ colin\'eaires\\ssi,\ \vec{u}=k\vec{v}\ avec\ k\in\mathbb R[/tex]

[tex]\overrightarrow{GA}\ et\ \overrightarrow{GI}\ sont\ donc\ colin\'eaires.\\A,G\ et\ I\ sont\ des\ points\ align\'es.[/tex]

[tex]\text{G est centre de gravit\'e du triangle ABC, ssi :}\ \overrightarrow{AG}=k(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})\\\\\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{GB}+\overrightarrow{GC}=\overrightarrow{0}\\\\(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AA})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB})+(\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AC})=\overrightarrow{0}[/tex]

[tex]3\overrightarrow{GA}+\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{0}\\\\\overrightarrow{GA}=\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})\\\\-\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(-\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC})[/tex]

[tex]\boxed{\overrightarrow{AG}=\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})}[/tex]

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Bonne continuation :))

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