Bonsoir :))
[tex]On\ pose\ h(t)=\frac{1}{f(t)}\\\\h'(t)=\frac{-f'(t)}{f(t)^{2}}\ avec\ f'(t)=0,022y(20-y)\\\\h'(t)=\frac{-0,022f(t)(20-f(t))}{f(t)^{2}}=0,022-\frac{0,44}{f(t)}\\\\On\ sait\ que\ h(t)=\frac{1}{f(t)}\ donc\ \boxed{\bf{h'(t)=0,022-0,44h(t)}}[/tex]
[tex]h(0)=\frac{1}{f(0)}=\frac{1}{0,01}=100\ \rightarrow 10 000\ m\'enages = 0,01\ millions[/tex]
[tex]\textbf{\underline{Cf.cours :}}\ y'=ay+b\ est\ une\ \'equation\ diff\'erentielle\ lin\'eaire\\de\ premier\ ordre\ \`a\ coefficient\ constant\ avec\ second\ membre\\constant.\ La\ solution\ compl\`ete\ est:\\\boxed{y(t)=Ke^{at}-\frac{b}{a}}[/tex]
[tex]On\ a\ :h'(t)=0,022-0,44h(t)\\\\h(t)=Ke^{-0,44t}+\frac{0,44}{0,022}=Ke^{-0,44t}+\frac{1}{20}\\\\h(0)=100\ \Rightarrow Ke^{0}+\frac{1}{20}=100\\\Leftrightarrow K=100-\frac{1}{20}\\K=\frac{1999}{20}\\\\\boxed{\bf{h(t)=\frac{1999}{20}e^{-0,44t}+\frac{1}{20}}}[/tex]
[tex]f(t)=\frac{1}{h(t)}=\frac{1}{\frac{1999}{20}e^{-0,44t}+\frac{1}{20}}\\\\\boxed{\bf{f(t)=\frac{20}{1+1999e^{-0,44t}}}}[/tex]
[tex]\textbf{Cf.Cours. d\'eriv\'ees:}\ (\frac{u}{v})'=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}\\\\f'(t)=\frac{-20(-879,56e^{-0,4t})}{(1+1999e^{-0,44t})^{2}}\\\\\boxed{\bf{f'(t)=\frac{17 591,2e^{-0,44t}}{(1+1999e^{-0,44t})^{2}}}}\\\\\text{La fonction }e^{x}\text{ est strictement croissante et}\\\text{d\'efinie\ positive sur }\mathbb R.\\\text{La fonction }e^{-x}\text{ est strictement d\'ecroissante et}\\\text{d\'efinie\ positive sur }\mathbb R.[/tex]
[tex]17591,2e^{-0,44t}>0\ sur\ \mathbb R\\f'(t)>0\ sur\ \mathbb R\\\\\text{Voir ci joint le tableau de variation pour }f(t).[/tex]
[tex]Calcul\ pour\ 2014\rightarrow f(34)\\\\f(34)=\frac{20}{1+1999e^{-0,44\times34}}\\\\f(34)\approx 19,99\ soit\ environ\ 19\ 990\ 000\ m\'enages.\\\\\text{D'apr\`es l'INSEE, 78,8\% des m\'enages\ comptabilis\'es en}\\\text{France \'etaient \'equip\'es d'un ordinateur.}\\Calcul :\ 0,788\times28\ 765\ 900=22\ 667\ 529,2\ m\'enages[/tex]
[tex]\text{Ainsi, le mod\`ele de Verhulst semble \^etre incorrect.}[/tex]
[tex]\text{Le programme PYTHON affiche le r\'esultat suivant :}\\\text{En 2006, il y avait environ 19 579 007 de m\'enages poss\'edant}\\\text{un ordinateur.}[/tex]
Voilà! J'espère que tu comprendras mieux ! Bonne continuation :))
