Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
2-a) il a multiplié les deux termes du quotient par e^-x
f(x)=[(2e^x -1)*e^-x]/[(e^x-1)*e^-x]=(2e^0-e^-x)/(e^0*-e^-x)
b)qd x tend vers +oo, e^-x tend vers 0 donc f(x) tend vers2/1=2
4a) f(x) est un quotient u/v sa dérivée est (u'v-v'u)/v²
u=2e^x-1 u'=2e^x
v=e^x-1 v'=e^x
f'(x)=[2e^x(e^x-1)-e^x(2e^x-1)]/(e^x-1)²=[2(e^x)²-2e^x -2(e^x)²-e^x]/(e^x-1)²
f'(x)=(-3e^x)/(e^x-1)²
cette dérivée est toujours<0 donc f(x) est décroissante
3) les droites d'équations x=0 et y=2 sont des asymptotes
tableau
x 0 +oo
f'(x) -
f(x) +oo décroît 2+
nota: pour la limite de f(x) en +oo
en +oo, -1 est une valeur négligeable donc f(x) tend vers 2e^x /e^x=2