louisseroux
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bonjour j'espère que vous pourrez m'aider merci

Sur une classe de 35 élèves, il y a plus de 80% de chances d'en trouver deux (au moins) qui ont la même date d'anniversaire. On se propose de démontrer cette affirmation surprenante. Pour simplifier, on va considérer que toutes les années ont 365 jours. On va prendre un modèle d'expérience aléatoire. On considère une urne contenant 365 boules dotées d'un numéro correspondant à chaque date de l'année.

1) Pour avoir une liste des dates d'anniversaire d'une classe quelconque de 35 élèves, on peut considérer qu'on tire une boule, qu'on affecte la date inscrite au 1 ^ m élève de la liste. Ensuite on redépose la boule dans l'urne. On tire de nouveau une boule. On affecte la date au 2ème élève de la liste. Et ainsi de suite.... Combien de liste de 35 dates peut-t-on avoir avec un tel modèle ? (Expliquer le raisonnement)
2) On veut compter le nombre de listes où toutes les dates sont différentes. Le modèle sera donc le même, sauf qu'après un tirage on ne remettra pas la boule tirée dans l'urne. Combien de listes avec 35 dates différentes peut-on former? (Expliquer le raisonnement)
3) En utilisant les deux calculs précédents, calculer la probabilité le 'événement A = alpha sur une classe de 35 élèves, aucun n'ait la même date d'anniversaire ».(On arrondira la valeur à 0,1 prés).
4) En déduire la probabilité que sur une classe de 35 élèves, au moins deux aient la même date d'anniversaire.​

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ réfléchissons avec une famille de 5 personnes

afin de comprendre ce qui se passe !

■ p(≥ 2 pers le même mois) = 1 - p(ttes nées des mois différents)

  or p(ttes nées des mois différents) = (12/12)*(11/12)*(10/12)*(9/12)*(8/12)

                                                              = 1 * (11/12) * (5/6) * (3/4) * (2/3)

                                                              = (11/12) * (5/12)

                                                              = 55/144

                                                              = 0,382 = 38,2 %

  donc p(≥ 2 pers le même mois) = 1 – 0,382 = 0,618 = 61,8 % .

■ application à la classe de 35 élèves :

  p(≥ 2 él le même jour) = 1 – 1*(364/365)*(363/365)*...*(331/365)

                                       = 1 – (364/365)*(363/365)*...*(331/365)

                                       = 1 – (364*363*362*...*331)/(365^34)

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