Bonjour,
1) f'(x) = 3 x² + 7 * 2 x + 11 = 3 x² + 7 x + 11
2) on note que 3 x² + 7 * 2 x + 11 = f'(x). On a:
f'(x) = 3 x² + 7 x + 11 = (9 x² + 21 x + 33) / 3
f'(x) = ((3x)² + 2 * 3x * 7/2 + 49/4 + 33 -49/4) / 3
f'(x) = ((3x)² + 2 * 3x * 7/2 + 49/4 + 33 -49/4) / 3
f'(x) = ((3x)² + 2 * 3x * 7/2 + (7/2)² + 33 - 49/4) / 3
f'(x) = ((3x + 7/2)² + 83/4) / 3
f'(x) = ((3x + 7/2)² + 83/4) / 3
on en conclut que 3 x² + 7 x + 11 = ((3x + 7/2)² + 83/4) / 3 >0
L'inéquation 3 x² + 7 x + 11 > 0 admet donc IR comme solution.
3) l'équation de la courbe C au point d'abscisse 0 s'écrit:
y = f'(0) x + f(0) soit y = 11x -19
4) 1 + 7 + 11 -19 = 0, 0 est donc une solution de l'équation
x³ + 7 x² + 11x -19 = 0
On a (x - 1) (x² + 8x + 19) = x³ + 8 x² + 19x - x² - 8x -19 = x³ + 7 x² + 11x -19
Donc f(x) = (x - 1) (x² + 8x + 19)
5) On a f(x) = (x - 1) (x² + 8x + 19) = (x - 1) (x² + 2 * x * 4 + 4² +3)
f(x) = (x-1) ((x + 2)² +3)
Or ((x + 2)² +3) > 0 pour tout x dans IR
le signe de x est donc identique à celui de (x -1)
i.e. f(x) est strictement négative sur ]-∞ ; 1[, nulle en 1
et strictement positive sur ]1 ; +∞[
