Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
1)
f '(x)=3x²+14x+11
2)
f '(x) est < 0 entre ses racines.
Δ=b²-4ac=14²-4(3)(11)=64
√64=8
x1=(-14-8)/6=-11/3
x2=(-14+8)/6=-1
Variation de f(x) :
x--------->-∞....................-11/3..................-1..............+∞
f '(x)----->............+...............0.......-..........0.......+..........
f(x)------>.............C...........≈-14.5.........D.......-24.....C......
Tu peux calculer la valeur exacte de f(-11/3) si tu veux.
3)
y=f '(0)(x-0)+f(0)
f '(0)=11
f(0)=-19
y=11x-19
4)
On vérifie que f(1)=0 :
1³+7*1²+11*1-19=1+7+11-19=0
On peut donc mettre (x-1) en facteur dans l'expression de f(x).
On développe :
(x-1)(x²+8x+19)=x³+8x²+19x-x²-8x-19=x³+7x²+11x-19=f(x)
5)
Donc f(x) est du signe de :
(x-1)(x²+8x+19)
x²+8x+19 est < 0 entre ses racines s'il y en a.
Δ=8²-4(1)(19)=-12 < 0.
Pas de racines donc : x²+8x+19 > 0 et f(x) est du signe de (x-1).
x-1 > 0 ==> x > 1
Tableau de signes :
x-------->-∞........................1...................+∞
f(x)----->...........-................0.........+............
