1) (x - 2)(3x + 1) > 0
Pour qu'un produit de deux nombre soit positif, il y a exacte,ent deux possibilités:
1. les deux facteurs sont positifs
2. les deux sont négatifs
Pour que (x - 2)(3x + 1) >0
Option 1:
x - 2 > 0 et 3x + 1 > 0
soit x > 2 et 3x + 1 - 1 > -1 (si j'ajoute un même nombre au deux cotés, l'inégalité ne change pas.
donc x > 2 et 3x > -1
soit x > 2 et 3x / 3 > -1 / 3 (si je divise les deux cotés par un npmbre positif, l'inégalité ne change pas)
ce qui donne x > 2 et x > -1/3
Ce qui revient à x > 2 ( si x > 2, il est forcément > -1/3
Maintenant on va étudier l'option 2 (les deux facteurs sont négatifs), soit :
x - 2 < 0 et 3x + 1 <0
x -2 + 2 < 2 et 3x + 1 - 1 < -1
x < 2 et 3x < -1
x < 2 et 3x / 3 < -1/3
x < 2 et x < -1/3
ce qui revient à x < -1/3 (si x < -1/3, x est forcement < 2)
la solution de notre inégalité est donc:
x < -1/3 ou x > 2
On en déduit que la solution de notre inégalité est S = ]-∞ ; -1/3[ ∪ ]2 ; +∞[
S = ]-∞ ; -1/3[ ∪ ]2 ; +∞[
3) On a β² ≥ 0 (le carré d'un nombre est toujours positif)
donc β² + 1 ≥ 1 > 0
Pour que (β² + 1) / (242β - 11) soit positif est équivalent au fait que (242β - 11)
le soit aussi puisque β² + 1 est toujours positif.
De plus, 242β - 11 ne peut ps être nul (un dénominateur ne peut pas être nul)
Cela revient donc à 242β - 11 > 0
soit 242β - 11 + 11 > 0 + 11
ce qui équivant 242β > 11
On divise les deux cotés par 242 qui est un nombre positif. ce qui donne
β > 11/242
On note enfin que 242 = 22 * 11
11 /242 = (11 * 1) / (11 * 22) = 1/22
β > 11/242 est donc équivalent à β > 1/22
La solution de notre inégalité est donc S = ] 1/22 ; +∞[
4) je n'ai pas la lettre Phi dans le clavier, je vais donc utiliser x
x² * (x - 1) - 2x * (x -1) < (1 - x)
x² * (x - 1) - 2x * (x -1) - (1 - x) < (1 - x) - (1 - x) ; on soustrait (1 -x) des deux cotés de l'inégalité. Ce qui donne:
x² * (x - 1) - 2 x * (x -1) - (1 - x) < 0
x² * (x - 1) - 2 x * (x -1) + (x - 1) < 0 ; car -(1 - x) = -1 - (-x) = -1 + x = x - 1
On note que (x - 1) est un facteur commun à tous les termes de la somme. On peut donc factoriser par (x -1) ce qui donne:
(x-1 ) * (x² - 2x + 1) < 0
on remarque l'identité remarquable x² - 2x + 1 = (x + 1)²
Cela donne:
(x - 1) * (x + 1)² <0
(x + 1)² ≥ 0 car il s'agit d'un carré. Il peut néanmoins être nul (si x = -1)
Pour que (x - 1) * (x + 1)² <0
Il est nécessaire que :
1. x ≠ 0 sinon (x - 1) * (x + 1)² serait = 0
2. et il faut en plus x - 1 < 0 soit x < 1
L'ensemble des solutions est donc :
S = ]-∞ ; 0[ ∪ ]0 ; 1[