atrax01
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Bonjour je n'arrive vraiment pas à cet exercice pouvez-vous m'aider svp. On se propose de résoudre l'équation cos (x)+sin(x) = -1 dans l'intervalle [0; 2π[.
1) Montrer que, pour tout réel x, (cos(x) + sin(x) + 1)² = 2(1+ cos(x))(1 + sin(x)).
2) En déduire les solutions de l'équation proposée.​

Sagot :

rico13

Bonjour

Je développe :

1)

(cos(x) + sin(x) + 1)² =   (cos(x) + [ sin(x) + 1] )²  forme (A + B )²

 = cos²(x) + (sin(x) + 1)² + 2 cos(x) ( sin(x) + 1)

 = cos²(x) + sin²(x) + 2sin(x) + 1 + 2 cos(x) sin(x) + 2cos(x)

on sait que cos²(x) + sin²(x) = 1

 = 1 + 2sin(x) + 1 + 2cos(x) sin(x) + 2cos(x)

 = 2 + 2sin(x) + 2cos(x) sin(x) + 2cos(x)

 = 2 ( 1 + sin(x) + cos(x) sin(x) + cos(x))

 = 2 ( 1 + sin(x) + cos(x) sin(x) + cos(x))

 = 2 ( 1 + sin(x) + cos(x) ( 1 + sin(x) )

 =2 ( 1 + sin(x) ) ( 1 + cos(x) )

CQFD

2)

1 + sin(x) = 0

sin(x) = -1

x=3π/2 + 2kπ et k ∈ Z

ou

1 + cos(x) =0

cos(x) = - 1

x=π + 2kπ et k ∈ Z

Pour les solutions à vérifier

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