Bonjour :))
[tex]Si\ les\ diagonales\ [AC]\ et\ [BD]\ se\ coupent\ en\ leur\ milieu\ alors,\ ABCD\\est\ un\ parall\'elogramme.\\\\\textbf{\underline{Milieu de [AC]}}:\ I_{AC}(\frac{x_A+x_C}{2};\frac{y_A+y_C}{2})\\I_{AC}(1;0)\\\\\textbf{\underline{Milieu de [BD]}}:\ I_{AC}(\frac{x_B+x_D}{2};\frac{y_B+y_D}{2})\\I_{BD}(\frac{3}{2};1)\\\\ABCD\ n'est\ pas\ un\ parall\'elogramme.[/tex]
[tex]Idem,\ ABED\ est\ un\ parall\'elogramme\ si\ ses\ diagonales\ se\\coupent\ en\ leur\ milieu.\\\\E(x;y)\ et\ I_{AE}=I_{BD}\\\\I_{AE}(\frac{-2+x_E}{2};\frac{-1+y_E}{2})\ et\ I_{BD}(\frac{3}{2};1)\\\\\begin{cases} \frac{-2+x_E}{2}=\frac{3}{2}\\\frac{-1+y_E}{2}=1\end{cases}\\\\E(5;3)[/tex]
[tex]\overrightarrow{CE}\left( \begin{array}{c}x_E-x_C \\y_E-y_C \\\end{array} \right)\Leftrightarrow\overrightarrow{CE}\left( \begin{array}{c}1 \\2 \\\end{array} \right)\\\\\overrightarrow{CD}\left( \begin{array}{c}x_D-x_C \\y_D-y_C \\\end{array} \right)\Leftrightarrow\overrightarrow{CD}\left( \begin{array}{c}-2 \\-4 \\\end{array} \right)\\\\\overrightarrow{CD}=-2\times\overrightarrow{CE}\\\\\overrightarrow{CD}\ et\ \overrightarrow{CE}\ sont\ colin\'eaires.\\C,\ D\ et\ E\ sont\ align\'es.[/tex]
[tex]ABD\ est\ rectangle\ si\ et\ seulement\ si:\ AD^{2}+AB^{2}=BD^{2}\\\\AD=\sqrt{(x_D-x_A)^{2}+(y_D-y_A)^{2}}\\AD=\sqrt{4^{2}+(-2)^{2}}\\AD=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\\\\AB=\sqrt{45}=3\sqrt{5}\\\\BD=\sqrt{65}\\\\\boxed{\bf{AD^{2}+AB^{2}=20+45=65=BD^{2}}}\\ABD\ est\ un\ triangle\ rectangle\ en\ A.\\\\ABCD\ est\ donc\ un\ rectangle.[/tex]
[tex]Le\ centre\ du\ cercle\ circonscrit\ de\ ABD\ est\ le\ point\ milieu\ de\\son\ hypot\'enuse,\ soit\ I\ milieu\ de\ [BD].\ \underline{(calcul\'e\ \`a\ la\ question\ 1)}\\\\Le\ rayon\ R\ sera\ alors\ \frac{BD}{2}\\\\\underline{Rappel:}\ BD=\sqrt{65}\\\\\Omega(\frac{3}{2};1)\ \ et\ \ R=\frac{\sqrt{65}}{2}[/tex]
[tex]\overrightarrow{AF}=3\overrightarrow{AD}\ on\ conna\^it\ \overrightarrow{AD}\left( \begin{array}{c} 4 \\-2 \\\end{array} \right)\ \ et\ \ \overrightarrow{AF}\left( \begin{array}{c}x_F+2 \\y_F+1 \\\end{array} \right)\\[/tex]
[tex]\begin{cases}x_F+2=12\\y_F+1=6\end{cases}\Leftrightarrow\begin{cases}x_F=10\\y_F=-7\end{cases}\\\\F(10;-7)[/tex]
[tex](DE)\ et\ (BF)\ sont\ s\'ecantes\ en\ C\ si\ elles\ se\ coupent\ en\ (4;1)\\\\ax+by+c=0\ est\ l'\'equation\ de\ droite\ (d)\ qui\ a\ pour\ vecteur\ directeur\\\vec{u}(-b;a)\\\\\overrightarrow{DE}\left( \begin{array}{c}3 \\6 \\\end{array} \right)\ est\ vecteur\ directeur\ de\ (DE):\ 6x-3y+c=0\\\\Sachant\ que\ (DE)\ passe\ par\ E(5;3),\ on\ peut\ en\ d\'eduire\ c:\\6*5-3*3+c=0\Leftrightarrow 30-9+c=0\Leftrightarrow \boxed{c=-21}\\\\On\ trouve\ y_{DE}=2x-7\ (\'Equation\ de\ droite\ (DE))[/tex]
[tex]\overrightarrow{BF}\left( \begin{array}{c}9 \\-12 \\\end{array} \right)\ est\ vecteur\ directeur\ de\ (BF):\ -12x-9y+c=0\\\\Sachant\ que\ (BF)\ passe\ par\ B(1;5),\ on\ peut\ en\ d\'eduire\ c:\\-12*1-9*5+c=0\Leftrightarrow -12-45+c=0\Leftrightarrow \boxed{c=57}\\\\On\ trouve\ y_{BF}=\frac{4}{3}x-\frac{19}{3}\ (\'Equation\ de\ droite\ (BF))[/tex]
[tex](BF)\ et\ (DE)\ sont\ s\'ecantes\ quand:\ y_{BF}=y_{DE}\\\\2x-7=-\frac{4}{3}x+\frac{19}{3}\\\\\frac{10}{3}x=\frac{40}{3}\\\\\boxed{x=4}\\\\y_{DE}(x=4)=2*4-7=1\\y_{BF}(x=4)=-\frac{4}{3}*4+\frac{19}{3}=1\\\\(BF)\ et\ (DE)\ sont\ s\'ecantes\ en\ C(4;1)[/tex]
Espérant que tu comprendras mieux ! Bonne continuation à toi :))
