Bonsoir :))
[tex]U_n\ est\ la\ suite\ d\'efinie\ par\ U(0)=1\ et,\ \forall n\in\mathbb N\ par:\\U_{n+1}=U_n+n+1\\\\Initialisation:n=0\\U(0)=1\\U(0)=\frac{0^{2}}{2}+\frac{0}{2}+1=1\\\\La\ propri\'et\'e\ P(n)\ est\ vraie\ au\ rang\ n=0.\\\\H\'er\'edit\'e:\ supposons\ que\ P(n)\ est\ vraie,\ d\'emontrons\ alors\ que\\P(n+1)\ est\ vraie\ aussi\\[/tex]
[tex]\\P(n):U_n=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}+1\\\Leftrightarrow U_{n+1}=\frac{(n+1)^{2}}{2}+\frac{n+1}{2}+1\\\\\Leftrightarrow U_{n+1}=\frac{n^{2}+2n+1}{2}+\frac{n+1}{2}+\frac{2}{2}\\\\\Leftrightarrow \boxed{U_{n+1}=\frac{n^{2}+3n+4}{2}}\\[/tex]
[tex]On\ sait\ que\ U_{n+1}=U_n+n+1,\ montrons\ le\ m\^eme\ r\'esultat:\\\\U_{n+1}=(\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}+1)+n+1\\\\U_{n+1}=\frac{n^{2}}{2}+\frac{3n}{2}+2\\\\\boxed{U_{n+1}=\frac{n^{2}+3n+4}{2}}[/tex]
[tex]Conclusion :La\ propri\'et\'e\ P(n)\ est\ vraie\ pour\ n=0\ et\ est\ h\'er\'editaire.\\U(n)=\frac{n^{2}}{2}+\frac{n}{2}+1\ \ \ \forall\ n\in\mathbb N[/tex]
Espérant que cela t'apporte les éléments nécessaires à ta compréhension, bonne continuation :))
