Réponse :
Explications étape par étape :
1. A partir de l'image, on peut conjecturer que f et g admettent la même tangente au point (0;0). soit a = 0
2. A partir du même graphe, f'(a) = g'(a) = 1
3. Pour calculer la dérivée de f on applique la formule:
(u/v)' = (u'.v - u.v')/(v²)
f'(x) = (5*(x+5) - 5x)/(x+5)² = 25 / (x+5)²
g'(x) = 2x + 1
f'(a) = g'(a)
équivaut 25 / (a+5)² = 2a + 1
soit (2a + 1).(a + 5)² = 25
(2a + 1) (a² + 10a + 25) = 25
2a³ + 20a² + 50a + a² + 10a + 25 = 25
2a³ + 21a² + 60a = 0
a . (2a² + 21a + 60) = 0
On montre que 2a² + 21a + 60 >0 (voir ** plus bas)
et on déduit que seul a=0 est une solution de f'(a) = g'(a) CQFD.
On peut par la même occasion vérifier que f'(a)=g'(a) = 1 tel que conjecturé en question 2.
** Pour montrer que 2a² + 21a + 60 >0
on peux étudier la variation du polynôme h(x) = 2x² + 21x + 60
h'(x) = 4x +21
h'(-21/4) = 0
h'(x)<0 pour tout x < -21/4, la fonction est décroissante sur ]-5 ; -21/4[
h'(x)>0 pour tout x > -21/4, la fonction est croissante sur ]-21/4 ; +oo[
donc h(x) ≥ h(-21/4) pour tout x dans ]-5 ; +oo[
h(-21/4) = 21²/8 + 21²/4 + 60 >0
