Salut Elo :)
Partie A : la règle des 72
[tex]Pour\ t=1\%,\ on\ a:\ n=\frac{72}{1}=72\ ans\\\\Pour\ t=5\%,\ on\ a:\ n=\frac{72}{5}=14,4\approx15\ ans\\\\Pour\ t=10\%,\ on\ a:\ n=\frac{72}{10}=7,2\approx8\ ans[/tex]
[tex]Pour\ t=1\%,\ on\ a:\\(1+\frac{1}{100})^{n}\ge2\\\\n*ln(1+\frac{1}{100})\ge\ ln(2)\\\\n\ge\ \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{1}{100})}\approx70\ ans\\\\Pour\ t=5\%,\ on\ a:\\(1+\frac{5}{100})^{n}\ge2\\\\n*ln(1+\frac{5}{100})\ge\ ln(2)\\\\n\ge\ \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{5}{100})}\approx15\ ans\\\\Pour\ t=10\%,\ on\ a:\\(1+\frac{10}{100})^{n}\ge2\\\\n*ln(1+\frac{10}{100})\ge\ ln(2)\\\\n\ge\ \frac{ln(2)}{ln(1+\frac{10}{100})}\approx8\ ans[/tex]
[tex]\text{Nous retrouvons les m\^emes r\'esultats avec les deux m\'ethodes sauf pour}\\\text{le cas o\`u t=1}\%.\\\\\text{La r\`egle des 72 semble mieux fonctionner pour des valeurs de t}\ge1\%[/tex]
Partie B : une autre estimation
[tex]Rappel\ d\'eriv\'ee:\\(ln(u))'=\frac{u'}{u}\\\\f'(x)=\frac{1}{1+x}-1+x\\\\f'(x)=\frac{x^{2}}{1+x}\ \forall x\in\mathbb R\ sauf\ (-1)\\\\x^{2}\ge0\ sur\ x\in\mathbb R\\\\1+x>0\ sur\ x\in[0;+\infty]\\\\f'(x)\ge0\ sur\ x\in[0;+\infty]\\\\f(x)\ est\ strictement\ croissant\ sur\ l'intervalle\ [0;+\infty]\\\\g'(x)=\frac{1}{1+x}-1\\\\g'(x)=\frac{-x}{1+x}\ \forall x\in\mathbb R\ sauf\ (-1)\\\\g'(x)\le0\ sur\ [0;+\infty]\\\\g(x)\ est\ strictement\ d\'ecroissante\ sur\ [0;+\infty][/tex]
[tex]f(0)=0\ et\ f(x)\ est\ strictement\ croissant\ sur\ [0;+\infty]\\Donc\ f(x)\ge0\ sur\ [0;+\infty]\\\\Ce\ qui\ donne:\\ \Leftrightarrow ln(1+x)-x+\frac{x^{2}}{2}\ge0\\\\\Leftrightarrow \boxed{ln(1+x)\ge x-\frac{x^{2}}{2}}[/tex]
[tex]g(0)=0\ et\ f(x)\ est\ strictement\ d\'ecroissante\ sur\ [0;+\infty]\\Donc\ g(x)\le0\ sur\ [0;+\infty]\\\\Ce\ qui\ donne:\\ \Leftrightarrow ln(1+x)-x\le0\\\\\Leftrightarrow \boxed{ln(1+x)\le x}[/tex]
[tex]\forall x\in [0;+\infty],\ x-\frac{x^{2}}{2}\le ln(1+x)\le x[/tex]
[tex]On\ sait\ que\ n=\frac{ln(2)}{ln(1+\frac{t}{100})}\\\\ln(1+x)\approx x\ \Rightarrow ln(1+\frac{t}{100})\approx \frac{t}{100}\\\\Donc\ n=\frac{ln(2)}{\frac{t}{100}}=\frac{ln(2)*100}{t}\approx \frac{70}{t}[/tex]
[tex]Pour\ doubler,\ on\ avait:\ (1+\frac{t}{100})^{n}\ge2\\\\Pour\ tripler,\ on\ a:\ (1+\frac{t}{100})^{n}\ge3\\\\Donc\ n=\frac{ln(3)}{ln(1+\frac{t}{100})}\approx \frac{ln(3)}{\frac{t}{100}}\approx \frac{110}{t}[/tex]
J'espère que ceci te conviendra ! n'hésite pas à revenir vers moi si tu bloques encore sur des trucs, je peux répondre à tes questions :))
Bonne continuation :))
