Réponse :
bonsoir
Explications étape par étape :
partie 1 A
Q1
ensemble de définition → (-1 ; 6) (ce sont des crochets pas des parenthèses
Q2
l'image de 1 → c'est 8 soit f(1) = 8
l'image de 2 → c'est 3 soit f(2) = 3
Q3
on lit les antécédents sur l'axe horizontal des abscisses
antécédents de 0 sont 3 et 5 soit f(3) = 0 et f(5) = 0
Q4
point de coordonnées (0 ; 15) est le point d'intersection entre la courbe et l'axe des ordonnées
partie 1B
Q1
forme développée de f(x) = (x - 4)² - 1
→ f(x) = x² - 8x + 16 - 1
→ f(x) = x² - 8x + 15
Q2
forme factorisée de f(x)
→ f(x) = (x - 4)² - 1 ⇒ identité remarquable : a² - b²= (a - b)(a + b)
avec ici a² = (x - 4)² donc a = x - 4
avec ici b² = 1 soit b = 1
→ f(x) = (x - 4 + 1) (x - 4 - 1)
→ f(x) = (x - 3)(x - 5)
__________________
f(1) = (1 - 3)( 1 - 5 ) = -2 x -4 = +8 (forme factorisée)
f(0) = -3 x - 5 = + 15 (forme factorisée)
f(√2) = (√2)² - 8√2 + 15 (forme développée)
f(√2) = 2 - 8√2 + 15
f(√2) = 17 - 8√2
____________________
f(x) = 0
→ (x - 3)( x - 5) = 0 ⇒ un produit de facteurs est nul si un des facteurs est = à 0 ici pour x - 3 = 0 soit x = 3 ou x - 5 = 0 soit x = 5
les solutions de l'équation sont ( 3 ; 5)
_______________________________
f(x) = -1
→ (x- 4)² - 1 = - 1
→ (x - 4)(x - 4) = -1 + 1
→ (x - 4)(x - 4) = 0 ⇒ un produit de facteur est nul ....
ici pour x - 4 = 0 soit pour x = 4
la solution de l'équation est x = 4
______________________________
f(x) = 15
→ (x - 4)² - 1 = 15
→ (x - 4)² = 15 + 1
→ (x - 4)² = 16
→ (x- 4)² = 4² ou (x - 4)² = (-4)²
⇒ x- 4 = 4 ou x - 4 = -4
⇒ x = 4 + 4 = 8 ou x = -4 + 4 = 0
les solutions de l'équation sont (0 ; 8)
exercice 2 ⇒ voir schéma joint
Q1
N( - 1,6 ; -0,8) ; E(-4 ; 2,4) ; Z ( 2,4 ; 7,2)
d(NE) = √(xE - xN)² + (yE - yN)²
d(N,E) = √( -4 + 1,6)² + (2,4 + 0,8)²
d(N ,E) = √ 5,76 + 10,24
d(N,E) = √16
d(N,E) = 4
_________________
d(E,Z) = √(xZ - xE)² + (yZ - yE)²
d(E,Z) = √( 2,4 + 4)² + (7,2 - 2,4)²
d(E,Z) = √40,96 + 23,04
d'E,Z) = √64
d(E,Z) = 8
___________________
d(Z,N) = √(xN - xZ)² + (yN - yZ)²
d(Z,N) = √(-1,6 - 2,4)² + (-0,8 - 7,2)²
d(Z,N) = √16 + 64
d(Z,N) = √80
d(Z,N) = 4√5
Q2
NEZ → rectangle si
⇒ ZN² = NE² + EZ² (ZN coté le plus long)
on vérifie
NZ² = (4√5)² = 16 x 5 = 80
NE² + EZ² = 4² + 8² = 16 + 64 = 80
comme ZN² = NE² + EZ² le triangle NEZ est rectangle en E
Q3
coordonnées du milieu K de (N,Z)
K( xN + xZ/2 ; yN + yZ/2)
K( -1,6 + 2,4/2 ; -0,8 + 7,2/2)
K( 0,4 ; 3,2)
Q4
U est le symétrique de E par rapport à K
→ donc K est le milieu de EU
les coordonnées de K milieu de EU sont :
xK (xE + xU/2 ) et yK (yE + yU / 2)
on connait les coordonnées de K ( 0,4 ; 3,2) et celles de E( - 4 ; 2,4)
→ 0,4 = (-4 + xU)/2 et 3,2 = (2,4 + yU)/2
→ 0,4 x 2 = -4 + xU et 3,2 x 2 = 2,4 + yU
→ 0,8 + 4 = xU et 6,4 - 2,4 = yU
→ xU = 4,8 et yU = 4
donc coordonnées de U( 4,8 ; 4)
Q5
au vu du schéma NZ et EU sont les diagonales du quadrilatères NUZE
si NZ = EU alors NUZE sera un rectangle
on vérifie
→ d(E,U) = √(xU - xE)² + (yU - yE)²
→ d(E,U) = √(4,8 + 4)² + (4 - 2,4)²
→ d(E,U) = √8,8² + 1,6²
→ d(E,U) = √80
→ d(E,U) = 4√5
⇒ EU = EZ et K milieu de EU et NZ donc NUZE est un rectangle
Q6
aire de NUZE ⇒ L x l = NE x EZ = 4 x 8 = 32 cm²
aire de NEZ ⇒ base x hauteur /2 = 4 x 8 / 2 = 16cm²
Q7
aire NEZ = aire EMN + aire EMZ
16 = (NM x ME /2) + (ME x ZM/2)
16 = (NM x ME + ME x ZM)/2
16 = ME x ( NM + ZM)/2
16 x 2 = ME x ZN ( car NM + ZM = ZN = 4√5 )
32 = ME x 4√5
ME = 32 / 4√5
ME = 8/√5 → valeur exacte
ME = 3,58 cm
voilà
bonne soirée
