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Une entreprise fabrique mensuellement de 0 à 80 tonnes de produit chimique, que l'on suppose
entièrement vendues.
Le coût de fabrication de x tonnes, exprimé en centaines d'euros, est donné par la fonction C définie
par C(x) = 0,01x3 - 1,35x2 + 63x + 30.
Chaque tonne est vendue 21 centaines d'euros.
1. Calculer, en euros, le coût de fabrication, la recette et le bénéfice correspondant à 40 tonnes.
2.
Calculer C' (x), pour x compris entre 0 et 80.
En déduire que la fonction C est strictement croissante sur [0:80).
3. a. Montrer que le bénéfice mensuel, en centaines d'euros est donné par la fonction B définie
par :
B(x) =-0,01x3 + 1,35x2 - 42x - 30.
b. Calculer B'(x).
C. En déduire le signe de B'(x)sur (0;80 et dresser le tableau de variations de la fonction
B sur [0;80.
d. Déduire de la question précédente le nombre de tonnes que doit fabriquer et vendre
l'entreprise pour que son bénéfice mensuel soit maximal. Que vaut alors ce bénéfice, en
euros ?

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ BONSOIR !

■ B(x) = -0,01x³ + 1,35x² - 42x - 30 donne

  B ' (x) = -0,03x² + 2,7x - 42

  cette dérivée est nulle pour x = 20 ou x  = 70 tonnes .

  Le Bénéf MAXI sera obtenu pour x = 70 tonnes

  Bmaxi = 215 centaines d' €uros = 21,5 k€ .

■ tableau :

      x -->   0      20      50      70      80 tonnes

B ' (x) -->       -    0         +        0    -

 B(x) --> -30    -410     -5      215    130 centaines d' €

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