Veltalice
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bonjour pouvez vous m'aider

Dans le plan muni d'un repère orthonormé, on considère les points A (1;-1), B(-1;5) et C(-4;4).

1. Quelle est la nature du triangle ABC ? Justifier. 2. Déterminer les coordonnées du point D tel que ABCD soit un parallelogramme. Préciser la nature du quadrilatère ABCD
3. On note O le centre de ce quadrilatère. En calculant de deux façons le produit scalaire OA.OB, calculer une mesure arrondie au degré près de AOB (angle)

merci!​

Sagot :

Réponse :

bonjour, sur un repère orthonormé unité de longueur 1cm place les points et vérifie la mesure des longueurs et de l'angle AÔB.

Explications étape par étape :

1)On peut conjecturer que ABC est rectangle en B. Pour le vérifier comme je pense que c'est un exercice de 2de on a la choix entre la réciproque du Th. de Pythagore ou les coefficients directeurs des droites (AB) et (BC)

coef . directeur (AB)   a=(yB-yA)/(xB-xA)=6/-2=-3

  "            "         (BC)   a'=(yC-yB)/(xC-xB)=-1/(-3)=1/3

on note que a*a'=-1 ces deux droites sont donc perpendiculaires  et ABC est rectangle en B.

2) ABCD est un parallélogramme  si vecAD=vecBC donc si D est l'image de A par translation de vecBC

coordonnées de vecBC   (-3;-1)

Coordonnées de D   xD=xA+xBC=1-3=-2    et yD=yA+yBC=-1-1=-2

   D(-2; -2)

Comme  ce parallélogramme  a un angle droit ABCD est un rectangle.

3) Comme ABCD est un rectangle les diagonales AC et BD sont égales et se coupent en leur milieu

Coordonnées de O milieu de [AC]

xO=(xA+xC)/2=-3/2   et yO=(yA+yC)/2=+3/2       O(-3/2; +3/2)

coordonnées du vecOA  (xA-xO=+5/2; yO-yA=-5/2)     vecOA(5/2;-5/2)

 coordonnées de vecOB  (xB-xO=1/2  ;yB-yO=7/2)      vecOB(1/2; 7/2)

les vecteurs OA et OB ont la même norme (longueur) OA²=50/4    donc

OA=OB=(5V2)/2=5/V2

Calculons le produit scalaire vecOA*vecOB

a)vecOA*vecOB=OA*OB*cosAÔB= (25/2)*cos AÔB

b) vecOA*vecOB=(5/2)*(1/2)+(-5/2)*(7/2)=-30/4=-15/2

de ceci on déduit que cos AÔB=-15/25=-3/5

avec la fonction arc cos  ou cos^-1 de la calculatrice  on détermine la mesure de AÔB   (127° environ)

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