Réponse :
f(x) = - x³ + x² + x - 1
1) Df = R
2) étudier les variations de f sur Df
f est une fonction polynôme dérivable sur Df = R et sa dérivée f ' est :
f '(x) = - 3 x² + 2 x + 1
Δ = 4 + 12 = 16 > 0 ⇒ 2 racines ≠
x1 = - 2+4)/-6 = - 1/3 ⇒ f(-1/3) = - (-1/3)³ + (-1/3)² + (-1/3) - 1 = - 32/27
x2 = - 2-4)/-6 = 1 ⇒ f(1) = 0
x - ∞ - 1/3 1 + ∞
f '(x) - 0 + 0 -
varia. + ∞→→→→→→→→→→ - 32/27→→→→→→→→→→→ 0 →→→→→→→→→→→→ - ∞
de f(x) décroissante croissante décroissante
3) déterminer la tangente T0 à Cf au point d'abscisse 0
y = f(0) + f '(0)(x - 0)
= - 1 + x
donc y = x - 1 est l'équation de la tangente T0
4) étudier la position relative de Cf par rapport à T0
étudions le signe de f(x) - y
f(x) - y = - x³ + x² + x - 1 - (x - 1) = - x³ + x² + x - 1 - x + 1 = - x³ + x²
f(x) - y = x²(- x + 1)
x - ∞ 0 1 + ∞
x² + 0 + +
- x + 1 + + 0 -
f(x) - y + 0 + 0 -
f(x) - y ≥ 0 sur ]- ∞ ; 0]U[0 ; 1] ⇒ Cf est au dessus de T0
f(x) - y ≤ 0 sur [1 ; + ∞[ ⇒ Cf est en dessous de T0
Explications étape par étape :