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Bonsoir j'ai du mal avec cet exercice si vous voulez bien m'aider merci

On considère la fonction f définie sur R par f(x) = -x3 + 3x + 18
1. Étudier le sens de variation de f.
2. Quel est le minimum de f sur ] - 00; 1] ? En déduire le signe de f sur ] - 00; 1].
3. Calculer f(3) puis déterminer le signe de f sur [1; +00[.
4. À l'aide des questions précédentes, déduire le tableau de signes de f sur R.
5. En déduire que : pour tout x E, ] - 00;3], on a x3 < 3x + 18 ?

​

Sagot :

croisierfamily

Réponse :

Explications étape par étape :

■ f(x) = -x³ + 3x + 18 sur IR

■ dérivée f ' (x) = -3x² + 3 = 3 (1 - x²) = 3 (1+x) (1-x)

  cette dérivée est positive pour -1 < x < +1

■ tableau :

     x --> -∞       -1      0      +1      +3      +∞

f ' (x) -->      -     0       +       0        -

  f(x) --> +∞      16    18     20       0       -∞

              <-------POSITIVE--------->0 négative

■ le Minimum cherché est M( -1 ; 16 )

■ f(3) = 0   et   f est positive pour x ≤ 3

   donc -x³ + 3x + 18 ≥ 0

   d' où x³ ≤ 3x + 18 .

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