Réponse :
Bonjour
Explications étape par étape :
Je pars donc du principe que l'énoncé comporte une erreur et qu'il faut lire:
"Monter que pour tout x ≥ 2 , on a :
x³ ≥ -3x²+9x+1
1)
h(x)=x³-(-3x²+9x+1)
h(x)=x³+3x²-9x-1
h '(x)=3x²+6x-9
h '(x) est < 0 entre ses racines car le coeff de x² est > 0.
On résout :
3x²+6x-9=0
3(x²+2x3)=0
x²+2x-3=0
Δ=2²-4(1)(-3)=16
√16=4
x1=(-2-4)/2=-3
x2=(-2+4)/2=1
h(x) < 0 sur [-3;1] et > 0 pour le reste.
2)
Variation de h(x) :
x------>-∞..............-3................1...................+∞
h(x)--->.........+.......0..........-.....0..........+......
h(x)--->........C.......?..........D.....?.........C..........
C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.
D'après ce tableau h(x) est croissante sur [1;+∞[ donc est croissante sur [2;+∞[.
3)
h(2)=2³+3*2²-9*2-1=1 > 0
h(x) est croissante sur [-2;+∞[ et vaut 1 pour x=2.
Donc sur [2;+∞[ ,
h(x) > 0 , ce qui donne :
f(x) -g(x) > 0 soit :
f(x) > g(x) soit :
x³ > -3x²+9x+1
