Réponse :
Explications :
Bonjour,
1) Identifier le système : Balle, centre de gravité G
le référentiel : terrestre considéré galiléen
et le type de mouvement :
Le mouvement de la balle se décompose deux mouvements (horizontal et vertical) complètement indépendants l'un de l'autre.
À l'horizontale, la balle se déplace à vitesse constante, comme dans le mouvement rectiligne uniforme (MRU),
alors qu'à la verticale, la balle se déplace en fonction de l'accélération gravitationnelle: il agit donc comme un corps en chute libre (MRUA).
2) Schématiser le mouvement en plaçant un repère.
Voir pièce jointe
3) Déterminer l’expression de ax et ay.
Vo a pour coordonnées dans le repère (O; Ox, Oy) :
Vo x = Vo * cos α° et Vo z = Vo * sinα°
Résistance de l'air négligéaille en chute libre) donc : ∑ Forces = P balle
Seconde loi de Newton :
∑ Forces = P balle = m * g = m * aG donc aG = g
Par projection sur les 2 axes du repère (O; Ox, Oz), les 2 équations différentielles du mouvement :
accélération aG x = ax = 0
accélération aG y = ay = -g
4) En déduire les équations horaires.
par intégration , on a :
VG x = K1
VG y = -g * t + K2
Où K1 et K2 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
t = 0, VG x(0) = Vo * cosα° donc K1 = Vo * cosα°
t = 0, VG y(0) = Vo * sinα° donc K2 = Vo * sinα°
soit : VG x = Vo * cosα° et VG y = -g * t + Vo * sinα°
par intégration :
OG x = Vo * cosα° * t + K3
OG y = -1/2 * g * t² + Vo * sinα° * t + K4
Où K3 et K4 sont des constantes qu'on détermine grâce aux conditions initiales :
a t = 0, OG x(0) = 0 donc K3 = 0
a t = 0, OG y(0) = H (hauteur de la frappe) = 0
On obtient donc les équations horaires paramétriques du mouvement :
sachant que Vo = 10 m/s et que g = 10 m/s²
OG x = 10 * cos45° * t et
OG y = -1/2 * 9.8 * t² + 10 * sin45° * t
Le mouvement de la balle est donc composé d'un :
- mouvement rectiligne uniforme de vitesse constante V1 sur (Ox)
- mouvement uniformément varié (chute libre verticale d'accélération g) de vitesse initiale non nulle sur (Oz).
5) Déterminer la distance maximale parcourue par la balle lorsqu’elle retouche le sol.
Équation de la trajectoire : éliminons le temps :
OG x = Vo * cosα° * t donc t = X / (Vo * cosα°)
reportons ce temps dans OG y (x) soit :
OG y (x) = -g/2 * (X / (Vo * cosα°)² + Vo * sinα° * X / (Vo * cosα°)
Equation de la trajectoire :
OG y (x) = - X² * 9.8 / (2 * (10 * cos45°)² ) + X * tan45°
la balle touche le sol : OG y (x) = 0 = - X² * 9.8 / (2 * (10 * cos45°)² ) + X * tan45°
soit - X * 9.8 / (2 * (10 * cos45°)² ) + tan45° = 0
donc X = tan45° * (2 * (10 * cos45°)² ) / 9.8 = 10.204 m
6) Déterminer la hauteur maximale atteinte par la balle.
la hauteur maximale est atteinte quand la vitesse VG y = -g * t + Vo * sinα° est nulle
soit VG y = -9.8 * t + 10 * sin45° = 0 soit t = 10 * sin45° / 9.8 = 0.72154 s
donc OG y = -1/2 * 9.8 * 0.72154² + 10 * sin45° * 0.72154 = 2.551 m
Vérifiez mes formules et calculs !!
