Mathildepixou
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Bonjour à tous ! En étudiant le signe de Un+1-Un, étudier les variations des suites (Un), définies pour tout n € N. 2)
[tex] un = 1 - \frac{2}{n + 1} [/tex]
Merci de votre aide !​

Sagot :

Réponse :

Un = 1 - 2/(n+1)   pour tout n ∈ N

Un+1 - Un = 1 - 2/(n+2)  - (1 - 2/(n+1) = - 2/(n+2) + 2/(n+1)

                = - 2(n+1)/(n+1)(n+2) + 2(n+2)/(n+1)(n+2)

                = (- 2 n - 2 + 2 n + 4)/(n+1)(n+2)

                = 2/ (n+1)(n+2)  > 0

Un+1 - Un > 0  ⇒  (Un) est une suite croissante sur N

Explications étape par étape :

Réponse :

Bonsoir

Explications étape par étape :

Un=1-2/(n+1)=(n+1-2)/(n+1)=(n-1)/(n+1)

U(n+1)=1-2/(n+1+1)=1-2/(n+2)=(n+2-2)/(n+2)=n/(n+2)

Calculons U(n+1)-Un=n/(n+2)-(n-1)/(n+1)=[n*(n+1)-(n-1)(n+2)]/(n+2)(n+1)

=(n²+n-n²+n-2n+2)/(n+2)(n+1)=2/(n+2)(n+1)

n étant>0,  U(n+1)-Un est >0 la suite est donc croissante.

nota: Un étant une  suite explicite (fonction de n) elle se comporte comme la fonction f(x) =1-2/(x+1) sur R+

dérivée  f'(x)=2/(x+1)² , f'(x) est >0 la fonction est donc croissante  et il en est de même pour la suite Un

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