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Exercice 16
ABC est un triangle rectangle en C tel que AC=6 et BC=8.
P est un point du segment (AB).
PQCS est un rectangle inscrit dans le triangle ABC. On pose PQ= x.
1. Donner l'intervalle décrit par x.
2. Exprimer PS en fonction de x.
3. Pour quelle(s) valeur(s) de x le quadrilatère PQCS est-il un carré ?
Justifier par un calcul.
4. On appelle f(x) l'aire du rectangle PQCS. Montrer que f(x) = x2 + 8x.
5. a) Calculer f (3)
b) Calculer f (6). Ce résultat pouvait-il être obtenu directement sans calcul ?
6. a) Conjecturer le tableau de variations de f à l'aide de la calculatrice.
b) Quelle est l'aire maximale du rectangle PQCS ?

Exercice 16 ABC Est Un Triangle Rectangle En C Tel Que AC6 Et BC8 P Est Un Point Du Segment AB PQCS Est Un Rectangle Inscrit Dans Le Triangle ABC On Pose PQ X 1 class=

Sagot :

marcfrancois

Réponse :

bj

Explications étape par étape :

1)

Si P est confondu avec B alors Q l'est aussi et on a : PQ = BB = 0 ;

donc x peut prendre la valeur : 0 .

Si P est confondu avec A alors Q est alors confondu avec C

et on a : PQ = AC = 0 ; donc x peut prendre la valeur : 6 .

P se place n'importe où sur le segment [AB] ;

donc x peut prendre n'importe quelle valeur entre 0 et 6 ;

donc l'ensemble des valeurs de x est : [0 ; 6] .

2)

On a :

BQ = BC - CQ = 8 - PS  .

Les deux droites (AP) et (CQ) sont sécantes et se coupent au point B .

Les deux droites (AC) et (PQ) sont perpendiculaires

à la droite (CQ)  ; donc elles sont parallèles .

En appliquant le théorème de Thalès , on a :

PQ/AC = BQ/BC ;

donc : x/6 = (8 - PS)/8 ;

donc : 8x = 6(8 - PS) ;

donc : 8x = 48 - 6PS ;

donc : 6PS = 48 - 8x ;

donc : PS = - 8/6 x +8 ;

donc : PS = - 4/3 x + 8 .

3)

PQCS est un carré si :

PQ = PS ;

donc si : x = - 4/3 x + 8 ;

donc : x + 4/3 x = 8 ;

donc : 7/3 x = 8 ;

donc : x = 24/7 .

4)

L'aire du rectangle PQCS est : PQ * PS ;

donc : A(x) = x(- 4/3 x + 8) = - 4/3 x² + 8x .

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