Réponse :
1) exprimer CI et CA en fonction de a
d'après le th.Pythagore on a; CI² = (a/2)² + a² = a²/4 + a² = 5a²/4
⇒ CI = a√5/2
CA² = a² + a² = 2 a² ⇒ CA = a√2
2) démontrer que vec(CA) + vec(CB) = 2vec(CI)
vec(CA) = vec(CI) + vec(IA) relation de Chasles
vec(CB) = vec(CI) + vec(IB)
...............................................................
vec(CA) + vec(CB) = 2vec(CI) + vec(IA) + vec(IB) or vec(IA) + vec(IB) = 0 car I milieu de (AB)
donc vec(CA) + vec(CB) = 2vec(CI)
3) en déduire l'expression de vec(CI).vec(CA) en fonction de a
vec(CI).vec(CA) = 1/2(CI² + CA² - ||CI - CA||²)
= 1/2(5/4) a² + 2 a² - ||CI - CA||²)
or - ||CI - CA||² = (CI + AC)² = (AC + CI)² = AI² = a²/4
= 1/2(5/4) a² + 2 a² - a²/4)
vec(CI).vec(CA) = 3/2) a²
puis en déduire une mesure à 0.1° près de l'angle ^ACI
vec(CI).vec(CA) = CI x CA x cos ^ACI
3/2)a² = a√5/2 x a√2 cos ^ACI
3/2 = √10/2) cos ^ACI
cos ^ACI = 3/√10 ⇒ arccos (3/√10) ≈ 18.4°
Explications étape par étape :