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Sagot :
Réponse :
La réponse en fichier joint.
Bonne journée
Explications étape par étape :

Réponse :
1) prouver l'égalité vec(AM) + vec(AD) = 2vec(AI)
vec(AM) = vec(AI) + vec(IM) relation de Chasles
vec(AD) = vec(AI) + vec(ID) // // //
............................................................
vec(AM) + vec(AD) = vec(AI) + vec(IM) + vec(AI) + vec(ID)
= 2vec(AI) + vec(IM) + vec(ID)
or vec(IM) + vec(ID) = 0 car I est le milieu du segment (DM)
donc vec(AM) + vec(AD) = 2vec(AI)
2) calculer le produit scalaire 2vec(AI).vec(BN) puis conclure
2vec(AI).vec(BN) = (vec(AM) + vec(AD).(vec(BA) + vec(AN))
= vec(AM).vec(BA) + vec(AM).vec(AN) + vec(AD).vec(BA) + vec(AD).vec(AN)
= - vec(AM).vec(AB) + vec(AM).vec(AN) + vec(AD).vec(BA) + vec(AD).vec(AN)
= - (AM) x AB x cos 0° + (AM) x AN x cos 90° + (AD) x BA cos 90° + AD x AN x cos 0°
2vec(AI).vec(BN) = - 1 + 0 + 0 + 1 = 0
on en déduit que les droites (AI) et (BN) sont perpendiculaires
2ème méthode : repère orthonormé (A , AB , AD) et on note x l'abscisse du point M
1) déterminer les coordonnées des points A, B, D, M, N et I
A(0 ; 0) ; B(1 ; 0) ; D(0 ; 1) ; M(x ; 0) ; N(0 ; x) ; I(x/2 ; 1/2)
2) calculer le produit scalaire AI.BN puis conclure
vec(AI) = (x/2 ; 1/2)
vec(BN) = (0 - 1 ; x) = (- 1 ; x)
XX' + YY' = x/2)*(- 1) + 1/2)* x = 0
donc les droites (AI) et (BN) sont orthogonaux
Explications étape par étape :
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