Réponse :
f(x) = x³ - 3 x² + 1
1) écrire une équation de la tangente T
f est une fonction polynôme dérivable sur R et sa dérivée f ' est :
f '(x) = 3 x² - 6 x
y = f(1) + f '(1)(x - 1) ⇔ y = - 1 - 3(x - 1) = - 1 - 3 x + 3 = - 3 x + 2
f(1) = 1³ - 3*1² + 1 = - 1
f '(1) = 3 - 6 = - 3
l'équation de la tangente T est : y = - 3 x + 2
2) vérifier que, pour tout réel x, x³ - 3 x² + 1 - (- 3 x + 2) = ( x - 1)³
f(x) - y = x³ - 3 x² + 1 - (- 3 x + 2)
= x³ - 3 x² + 1 + 3 x - 2
= x³ - 3 x² + 3 x - 1
et (x - 1)³ = (x² - 2 x + 1)(x - 1) = x³ - x² - 2 x² + 2 x + x - 1 = x³ - 3 x² + 3 x - 1
donc on bien x³ - 3 x² + 1 - (- 3 x + 2) = ( x - 1)³
3) a) étudier la position de C par rapport à T
étudions le signe de f(x) - y = (x - 1)³
x -∞ 1 + ∞
f(x) - y - 0 +
C est en dessous C est au-dessus de T
de T
Explications étape par étape :