lila066
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Bonjour, j'aurais besoin d'aide pour cet exercice sur le produit scalaire, merci d'avance!

ABCD est un carré, M et N sont des points des segments [AB] et [AD] tels que AM=AN, le point I est le milieu du segment [DM].
Faire une figure.

Le but de l’exercice est de démontrer par deux méthodes différentes que les droites (BN) et (AI) sont perpendiculaires.

Première méthode avec les propriétés du produit scalaire

1. Prouver l’égalité ⎯→ ⎯→ ⎯→ AM+ AD = 2 AI .
2. Calculer le produit scalaire ⎯→ ⎯→ 2 AI BN , puis conclure.

Deuxième méthode dans un repère orthonormé On se place dans le repère orthonormé (A ; AB ; AD) ⎯→ ⎯→ et on note x l’abscisse du point M. 1.

Déterminer les coordonnées des points A, B, D, M, N et I.

2. Calculer le produit scalaire ⎯→ ⎯→ AI BN , puis conclure.​​

Sagot :

Bernie76

Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

Tout en vecteurs :

AI=AM+MI ( Chasles)

AI=AD+DI

On ajoute membre à membre :

2AI=AM+AD+MI+DI mai MI=-DI donc :

2AI=AM+AD

2)

BN=BA+AN donc :

2AI.BN=(AM+AD)(BA+AN)

2AI.BN=AM.BA+AM.AN+AD.BA+AD.AN

(AM) ⊥ (AN) donc AM.AN=0

(AD) ⊥ (BA) donc AD.BA=0

Donc :

2AI.BN=AM.BA+AD.AN

2AI.BN=||AM|| x ||BA|| + ||AD|| x ||AN||

Mesure BA=mesure AD

Mesure AM=mesure AN

Mais les vecteurs AM et BA sont de sens contraires alors que les vecteurs AD et AN sont de même sens .

Donc :

||AM|| x ||BA|| = - ||AD|| x ||AN||

Donc :

2AI.BN=0 qui prouve que (AI) ⊥ (BN)

2)

a)

A(0;0) - B(1;0) - D(0;1) - M(x;0) - N(0;x)

xI=(xM+xD)/2=x/2

yI=(yM+yD)/2=1/2

Donc : I(x/2;1/2)

Coordonnées des vecteurs :

AI(x/2;1/2)

BN(0-1;x-0)

BN(-1;x)

AI.BN=(x/2)(-1) + (1/2)(x)=-x/2+x/2

AI.BN=0 qui prouve que (AI) ⊥ (BN).

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